Определение дерева: Определение и свойства деревьев.

Теория графов — деревья — CoderLessons.com

Деревья – это графики, которые не содержат ни одного цикла. Они представляют иерархическую структуру в графической форме. Деревья относятся к простейшему классу графов. Несмотря на их простоту, они имеют богатую структуру.

Деревья предоставляют целый ряд полезных приложений, от простого семейного дерева до сложных в структурах данных компьютерной науки.

дерево

Связный ациклический граф называется деревом. Другими словами, связный граф без циклов называется деревом.

Края дерева известны как ветви . Элементы деревьев называются их узлами . Узлы без дочерних узлов называются листовыми узлами .

Дерево с ‘n’ вершинами имеет ‘n-1’ ребер. Если у него есть еще одно ребро, превышающее ‘n-1’, то это дополнительное ребро, очевидно, должно соединиться с двумя вершинами, что приводит к образованию цикла. Затем он становится циклическим графом, что является нарушением для графа дерева.

Пример 1

График, показанный здесь, является деревом, потому что у него нет циклов, и он связан. Он имеет четыре вершины и три ребра, т. Е. Для ‘n’ вершин ‘n-1’ ребер, как указано в определении.

Примечание. Каждое дерево имеет как минимум две вершины первой степени.

Пример 2

В приведенном выше примере вершины «a» и «d» имеют степень один. А две другие вершины ‘b’ и ‘c’ имеют второй уровень. Это возможно, потому что для того, чтобы не формировать цикл, в диаграмме должно быть как минимум два отдельных ребра. Это не что иное, как два ребра со степенью один.

лес

Несвязный ациклический граф называется лесом. Другими словами, непересекающаяся коллекция деревьев называется лесом.

пример

Следующий график выглядит как два подграфа; но это один несвязный граф. На этом графике нет циклов. Отсюда ясно, что это лес.

Охватывающие деревья

Пусть G – связный граф, тогда подграф H в G называется остовным деревом в G, если –

  • H это дерево
  • H содержит все вершины G.

Остовное дерево T неориентированного графа G является подграфом, который включает в себя все вершины G.

пример

В приведенном выше примере G является связным графом, а H является подграфом G.

Ясно, что граф H не имеет циклов, это дерево с шестью ребрами, которое на единицу меньше общего числа вершин. Следовательно, H – остовное дерево группы G.

Circuit Rank

Пусть «G» связный граф с «n» вершинами и «m» ребрами. Остовное дерево ‘T’ группы G содержит (n-1) ребер.

Следовательно, количество ребер, которые нужно удалить из ‘G’, чтобы получить остовное дерево = m- (n-1), которое называется рангом схемы G.

Эта формула верна, потому что в остовном дереве вам нужно иметь ребра n-1. Из «m» ребер вам нужно сохранить «n – 1» ребер в графе.

Следовательно, удаление ребер n – 1 из m дает ребра, которые нужно удалить из графа, чтобы получить остовное дерево, которое не должно образовывать цикл.

пример

Посмотрите на следующий график –

Для графика, приведенного в примере выше, у вас есть m = 7 ребер и n = 5 вершин.

Тогда ранг цепи

G = m – (n – 1)
  = 7 – (5 – 1)
  = 3

пример

Пусть ‘G’ – связный граф с шестью вершинами, а степень каждой вершины равна трем. Найдите звание цепи «G».

По сумме теоремы о степени вершин

n ∑ i = 1 градус (V i ) = 2 | E |

6 × 3 = 2 | E |

| E | = 9

Схема ранг = | E | – (| V | – 1)

= 9 – (6 – 1) = 4

Теорема Кирхгофа

Теорема Кирхгофа полезна для нахождения числа связующих деревьев, которые могут быть сформированы из связного графа.

пример

Матрица «А» заполняется так, как если между двумя вершинами есть ребро, то она должна быть задана как «1», иначе «0».

что это такое и почему их обязательно нужно знать каждому программисту

Деревья. Теория

Деревья расширяют идею связного списка. Кроме того, они позволяют узлам иметь более одного последующего узла, который связан с предыдущим.

Узлы дерева могут иметь любое количество дочерних узлов. Благодаря этому, данные представлены в виде гибкой схемы ветвления, что позволяет хранить и извлекать их с полной отдачей.

Один из типов деревьев – двоичное дерево поиска (BST – binary search tree). В предыдущих частях материала мы упоминали, насколько эффективно BST извлекают данные. Эта эффективность обусловлена двумя важными правилами, которые определяют структуру BST:

  1. Узел может иметь не более двух дочерних узлов.
  2. Каждый узел в левом поддереве должен содержать меньшее значение, а каждый узел в правом поддереве – большее.

Поиск значения в BST занимает O(log n) времени. Это означает, что можно очень быстро найти требуемое значение среди миллионов или даже миллиардов записей.

Предположим, мы ищем узел со значением x. Чтобы быстро найти его в BST, воспользуемся следующим алгоритмом:

  1. Начать с корня дерева.
  2. Если x = значению узла: остановиться.
  3. Если x < значения узла: перейти к левому дочернему узлу.
  4. Если x > значения узла: перейти к правому дочернему узлу.
  5. Перейти к шагу 2.

При отсутствии уверенности в существовании искомого узла, необходимо изменить шаги 3 и 4 для остановки поиска.

***

Если хочешь подтянуть свои знания по алгоритмам, загляни на наш курс «Алгоритмы и структуры данных», на котором ты:

  • углубишься в теорию структур данных;
  • научишься решать сложные алгоритмические задачи;
  • научишься применять алгоритмы и структуры данных при разработке программ.

Интересно, хочу попробовать

Реализация

Создание узла TreeNode идентично созданию узла ListNode. Единственное отличие в том, что вместо одного атрибута у нас два: left и right, которые ссылаются на левые и правые дочерние узлы.

class TreeNode:
    def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right
    def __repr__(self):
      return f"TreeNode со значением {self.val}"

Таким образом, мы создаем дерево с тремя уровнями. Стоит отметить, что данное дерево – просто бинарное, а не BST, потому что значения не отсортированы.

# Уровень 0
root = TreeNode('a')
# Уровень 1
root.left = TreeNode('b')
root.right = TreeNode('c')
# Уровень 2
root.left.left = TreeNode('d')
root.left.right = TreeNode('e')
root.right.left = TreeNode('f')
root.right.right = TreeNode('g')
#            a
#          /   \
#         b     c
#        / \   / \
#       d   e f   g

Примеры

При работе с двоичными деревьями у нас могут возникнуть вопросы. Как правило, они касаются различных способов обхода узлов.

Обход дерева начинается с корневого узла. Далее, используем набор шагов для обработки каждого узла, включая дочерние. Порядок обработки узлов зависит от того, в какой последовательности идет подготовка родительского узла относительно дочерних: до (pre-order), между левым и правым (in-order) и после (post-order). На примерах, приведенных ниже, обход начинался с корневого узла. Однако, порядок обработки узлов был различен.

Эти три типа обхода могут быть реализованы следующими методами:

  • с итерацией – использование цикла while и стека. В этом случае удаление данных возможно только с конца.
  • с рекурсией – использование функции, которая вызывает сама себя.

Есть четвертый тип обхода – порядок уровней (level-order traversal). Этот способ использует очередь (queue). Удаление данных здесь возможно только с начала.

Для первых трех типов обработки узлов паттерны практически идентичны. Просто выберем обход в порядке возрастания. Ниже разберем итеративный и рекурсивный методы для LC 94: Binary Tree Inorder Traversal, начиная с итеративной версии:

# Итеративный обход
def traverse_in_order(root: TreeNode) -> List[int]:
    """
    Обход двоичного дерева, возвращается список значений по порядку
    """
    answer = []
    stack = [(root, False)]   # (узел, посещен ли он еще)
    while stack:
        node, visited = stack.pop()
        if node:
            if visited:
                answer.append(node.val)
            else:
                stack.append((node.right, False))
                stack.append((node, True))
                stack.append((node.left, False))
    return answer

Алгоритм действий:

  1. Строки 6-7: Создаем список для ответа (answer) и для стека (stack).
    List содержит кортеж корневого узла и переменную False, которая указывает на то, что этот узел еще не был затронут.
  2. Строка 9: Запускаем цикл while. Он будет выполняться до тех пор, пока в стеке есть хотя бы один элемент.
  3. Строки 10-12: Удаляем последний элемент из стека с помощью .pop. Далее проверяем существование node (узла). Node не всегда будет существовать в последующих итерациях для узлов без дочерних элементов.
  4. Строки 14-15: Добавляем значение узла к ответу. Действие происходит только в том случае, когда node существует и мы уже затрагивали этот узел.
  5. Строки 16-19: Добавляем правый дочерний, текущий и левый дочерний узлы. На правый и левый узлы ставим пометку (флаг), которая показывает, что они не были проиндексированы на данном этапе выполнения программы. На текущий узел ставим флаг, который показывает, что он был замечен программой.
    Действие происходит до момента, когда мы посетили этот узел.
  6. Строки 9-19: Повторяем шаги 3-6, пока не обработаем все узлы.
  7. Строка 21: Возвращаем список значений узлов, которые отсортированы по порядку.

Примечание: Добавление узлов в стек (строки 17-19), может показаться неупорядоченным. Однако, стеки работают по принципу Last In First Out. Первый узел, который нужно обработать, должен быть последним узлом, который добавляется в стек. Поэтому, сначала добавляется правый, и только потом левый узел.

Далее расскажем о рекурсивном методе:

# Рекурсивный обход
class Solution:
    def __init__(self):
        self.answer = []
    def traverse_inorder(self, root: TreeNode) -> List[Any]:
        """
        Проходим двоичное дерево, и возвращаем список значений в порядке их следования
        """
        self.
 
 _traverse(root)
        return self.answer
    def _traverse(self, node: Optional[TreeNode]) -> None:
      """
      Рекурсивная функция для последовательного обхода
      """
        if not node:
            return None
        self._traverse(node.left)
        self.answer.append(node.val)
        self._traverse(node.right)

Алгоритм действий:

  1. Строки 2-4: Создаем класс, который инициализируется списком для ответа (self.answer).
  2. Строки 6-11: Определяем функцию traverse_inorder, которая принимает корневой узел дерева, вызывает рекурсивную функцию _traverse и возвращает self.answer.
  3. Строки 13-22: Определяем рекурсивную функцию _traverse, которая принимает узел. Функция проверяет существование node перед тем как вызвать саму себя на левом дочернем узле. Далее она добавляет значение узла к self. answer. Затем повторно происходит операция самовызова уже на правом дочернем узле.

Подведем итоги. Данные примеры мы рассматривали в контексте обхода in-order. Для того чтобы изменить порядок следования на pre-order или post-order, в обоих случаях нужно поменять порядок обработки узла относительно его дочерних элементов. Остальная часть кода остается неизменной.

# Изменение обхода
def iterative(root):
    ...
    stack.append((node.right, False))
    stack.append((node.left, False))
    stack.append((node, True))     # <- изменение
    ...
def _traverse(self, node):
    ...
    self.answer.append(node.val)   # <- изменение
    self._traverse(node.left)
    self._traverse(node.right)

Графы. Теория

Деревья расширяют область применения связанных списков, позволяя иметь более одного дочернего узла. При помощи графов можно расширить область применения и ослабить строгую «родительскую» связь в деревьях. Узлы графа не имеют явной иерархии. Каждый узел может быть соединен с любым другим узлом.

Как правило, графы представлены в виде матриц смежности (adjacency matrix). Так, у приведенного выше графа будет следующая матрица.

Каждая строка и столбец представляют собой узел. Единица в строке i и столбце j, или A_{ij}=1, означает связь между узлом i и узлом j.

A_{ij}=0 означает, что узлы i и j не связаны.

Ни один из узлов в этом графе не связан с самим собой. Следовательно, диагональ матрицы равна нулю. Аналогично, A_{ij} = A_{ji}, потому что связи ненаправленны. То есть если узел A связан с узлом B, то B связан с A. В результате матрица смежности симметрична по диагонали.

Рассмотрим пример, который поможет нам понять описанную выше теорию.

На представленных рисунках мы видим взвешенный граф с направленными ребрами. Обратите внимание, что связи больше не симметричны – вторая строка матрицы смежности пуста, потому что у B нет исходящих связей. Числа от 0 до 1 отражают силу связи. Например, граф C влияет на граф A сильнее, чем A на C.

Реализация

Реализуем невзвешенный и неориентированный граф. Основной структурой класса является список списков Python. Каждый из них – это строка. Индексы в списке представляют собой столбцы. При создании объекта Graph необходимо указать количество узлов n, чтобы создать список списков. Затем мы можем получить доступ к соединению между узлами a и b с помощью self. graph[a][b].

from typing import List
class Graph:
    def __init__(self, n: int):
        self.graph = [[0]*n for _ in range(n)]
    def connect(self, a: int, b: int) -> List[List[int]]:
        """
        Обновляем self.graph для соединения узлов A и B.
        """
        self.graph[a][b] = 1
        self.graph[b][a] = 1
        return self.graph
    def disconnect(self, a: int, b: int) -> List[List[int]]:
        """
        Обновляем self.graph для разъединения узлов A и B.
        """
        self.graph[a][b] = 0
        self.graph[b][a] = 0
        return self.graph

Воссоздать график из первого примера можно следующим образом:

g = Graph(4)
# соединения A
g.connect(0, 1)
g.connect(0, 2)
# соединения B (исключая A)
g.connect(1, 2)
# соединения C (исключая B)
g.connect(2, 3)

Пример

Одним из сложных вопросов в теории графов является определение количества связанных компонентов или подкластеров внутри графа. Например, в приведенном ниже графе можно выделить три различных компонента.

Чтобы ответить на вопрос LC 323: Количество связных компонентов, изучим каждый узел графа. Далее «посетим» соседние графы. Повторяем операцию до тех пор, пока не встретим только те узлы, которые уже были замечены программой. После этого проверим наличие в графе узлов, которые еще не были замечены. Если такие узлы присутствуют, то существует еще как минимум один кластер, поэтому нужно взять новый узел и повторить процесс.

def get_n_components(self, mat: List[List[int]]) -> int:
    """
    Учитывая матрицу смежности, возвращает количество связанных компонентов
    """
    q = []
    unseen = [*range(len(mat))]
    answer = 0
    while q or unseen:
        # Если все соседние узлы прошли через цикл, переходим к новому кластеру
        if not q:
            q.append(unseen.pop(0))
            answer += 1
        # Выбираем узел из текущего кластера
        focal = q. pop(0)
        i = 0
        # Поиск связей во всех оставшихся узлах
        while i < len(unseen):
            node = unseen[i]
            # Если узел подключен к центру, добавляем его в очередь
            # чтобы перебрать его соседей
            # из невидимых узлов и избежать бесконечного цикла
            if mat[focal][node] == 1:
                q.append(node)
                unseen.remove(node)
            else:
                i += 1
    return answer

Алгоритм действий:

  1. Строки 5-8: Создаем очередь (q), список узлов (unseen) и количество компонентов (answer).
  2. Строка 10: Запускаем цикл while, который выполняем до тех пор, пока в очереди есть узлы, которые нужно обработать или узлы, которые не были замечены.
  3. Строки 13-15: Если очередь пуста, удаляем первый узел из непросмотренных и увеличиваем количество компонентов.
  4. Строки 18-19: Выбираем следующий доступный узел в очереди (focal).
  5. Строка 22: Запускаем цикл while, который выполняем до тех пор, пока не обработаем все оставшиеся узлы.
  6. Строка 23: Даем имя текущему узлу для оптимизации кода.
  7. Строки 28-30: Если текущий узел подключен к центру, добавляем его в очередь узлов текущего кластера. Удаляем его из списка тех узлов, которые могут находиться в невидимом кластере. Благодаря этому действию, мы избегаем бесконечного цикла.
  8. Строки 31-32: Если текущий узел не подключен к focal (центру), переходим к следующему узлу.

Заключение

Графы и деревья – основные структуры данных. Спектр их применения огромен. Например, графы используются там, где необходим алгоритм поиска решений. Реальный пример их использования – sea-of-nodes JIT-компилятора.

Деревья используются тогда, когда мы должны произвести быстрое добавление/удаление объекта с поиском по ключу. Например, в различных словарях и индексах БД (Баз данных). Кроме того, деревья являются неотъемлемой частью случайного леса – алгоритма машинного обучения.

В следующей части материала мы приступим к изучению хэш-таблиц.

***

Базовый и продвинутый курс «Алгоритмы и структуры данных» включает в себя:

  1. Живые вебинары 2 раза в неделю.
  2. 47 видеолекций и 150 практических заданий.
  3. Консультации с преподавателями курса.

Интересно, хочу попробовать

Материалы по теме

  • ❓ Зачем разработчику знать алгоритмы и структуры данных?
  • ☕ Распространенные алгоритмы и структуры данных в JavaScript: объекты и хеширование
  • 10 структур данных, которые вы должны знать (+видео и задания)

Определение и значение дерева — Merriam-Webster

1 из 2

1

а

: деревянистое многолетнее растение с одним обычно удлиненным главным стеблем, как правило, с несколькими ветвями или без них в нижней части

б

: кустарник или трава древовидной формы

розовые деревья

банановое дерево

2

: что-то в форме или напоминающее дерево: например,

а

: диаграмма или граф, который обычно разветвляется от простой основы или вершины, не образуя петель или многоугольников

генеалогическое дерево

филогенетические деревья

б

: сильно разветвленная система каналов, особенно в организме животного

сосудистое дерево

3

а(1)

: кусок дерева (например, столб или шест), обычно предназначенный для определенного использования или являющийся частью конструкции или орудия

(2)

архаичный : крест, на котором был распят Иисус

б

архаичный : виселица

4

: седло

безлесный

ˈtrē-ləs 

прилагательное

древовидный

тре-лик

прилагательное

дерево

2 из 2

переходный глагол

1

а

: подъехать к дереву или подняться на него

на деревьях быком

собаки на деревьях

б

: поставить в крайне невыгодное положение : угол

специально : поставить в бухту

2

: обставить или обшить (обувь) деревом

Примеры предложений

Существительное Он срубил дерево .

Последние примеры в Интернете

Шьямалан, если честно, не утратил ни капли своей композиционной бесовщины; обратите внимание на то, как он делит экран пополам четкими вертикальными линиями — туловище дерево , или край занавески для душа, за которым кто-то может скрываться, а может и не скрываться. — Энтони Лейн, The New Yorker , 3 февраля 2023 г. Бренд также следует передовой практике в отношении этического сбора листьев кратома дерева , гарантируя, что все его продукты производятся с использованием кратома, который был собран устойчивым образом, что приносит пользу как людям, так и окружающей среде. — Новости Далласа , 30 января 2023 г. Де Керсиз сравнивает эти цифровые инновации с ветвями дерева , которые по-новому расширяют послание люксового бренда. — Энтони Демарко, Forbes , 28 января 2023 г. Власти прибыли на место происшествия и обнаружили, что автомобиль врезался в дерево и был охвачен пламенем, по данным полиции. — Служба городских новостей, Сан-Диего Юнион-Трибьюн , 25 января 2023 г. Даже на первый взгляд коттедж с его красивым ландшафтным газоном и деревьями краями излучал спокойствие. — Арати Менон, Condé Nast Traveler , 13 января 2023 г. В течение часа собаки учуяли самку горного льва и напугали ее деревом . — Los Angeles Times , 12 января 2023 г. Помимо серебряных шаров и красных ягод, на дереве можно увидеть британский и норвежский флаги. — Наталья Сенанаяке, Peoplemag , 24 декабря 2022 г. Другие крадут машину для развлечения, врезаются в дерево и бросают ее. — Магазин Quanta , 19декабрь 2022 г.

На западе, севере и в центре Техаса предупреждение должно было сняться в 9 часов утра в четверг, хотя из-за льда все еще возможны перебои в подаче электроэнергии и повреждение деревьев в этом районе. — Марина Питофски, 9 лет0101 США СЕГОДНЯ , 3 февраля 2023 г. Торнадо нанес в основном повреждение дереву в этом районе и рассеялся после пересечения дороги округа 113. — Ли Морган, al , 8 января 2023 г. Биттеры — это ликеры, приправленные комбинацией трав и других растений — иногда даже коры и корней деревьев. — Эрик Бетц, Discover Magazine , 7 окт. 2020 г. Ученые, называемые дендрохронологами, сосредотачиваются на назначении календарных лет кольцам деревьев и интерпретации данных в этих кольцах. — Джаред Фармер, Smithsonian Magazine , 3 января 2023 г. Люди, у которых нет чувствительности или аллергии на орехи дерева , все же могут есть печенье. — Крис Смит, BGR , 1 ноября 2022 г. Люди с аллергией на 9У 0101 орехов дерева симптомы появятся после употребления в пищу продуктов, содержащих эти ингредиенты. — Крис Смит, BGR , 27 октября 2022 г. Денежная елка не только прекрасно дополняет любой домашний стиль, но и приносит удачу и удачу своим владельцам. — Кейли Линдберг, Good Housekeeping , 13 октября 2022 г. Мансанита представляет собой большую группу вечнозеленых кустарников, от почвопокровных до дерево высоты и разной ширины. — Вивека Невелн, Better Homes & Gardens , 10 октября 2022 г. Узнать больше

Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «дерево». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.

История слов

Этимология

Существительное

Среднеанглийский, от древнеанглийского trēow ; Сродни старого норвежского Trē Tree, Greek Drys , санскрит Dāru Wood

Первое известное использование

Существительное

до 12 -го века, в значении, определяемом в смысле

Verb

157561 1575, в смысле

. значение определено в смысле 1a

Путешественник во времени

Первое известное использование дерево было до 12 века

Посмотреть другие слова того же века

Словарные статьи Рядом с

дерево

Тредрель

дерево

Дерево

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись0003

«Дерево. » Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/tree. По состоянию на 14 февраля 2023 г. 1 из 2 сущ.

ˈtrē

1

а

: многолетнее древесное растение, обычно имеющее один высокий главный стебель с несколькими ветвями или без них в нижней части

б

: кустарник или трава, по форме напоминающая дерево

роза деревья

банан дерево

2

: кусок дерева (в качестве столба или шеста), предназначенный для конкретного использования в качестве части конструкции или устройства

3

: нечто, имеющее форму дерева или расположенное в виде дерева

особенно : диаграмма или график в разветвленной форме

сравнение факторного дерева, смысл генеалогического дерева 2

безлесный

-ləs

прилагательное

древовидный

-лик

прилагательное

дерево

2 из 2 глагол

1

: заехать или как бы залезть на дерево

2

: обставить или вписать в дерево

дерево ось

Medical Definition

дерево

существительное

ˈtrē

: анатомическая система или структура, имеющая множество ответвлений

сосудистое дерево

см. билиарное дерево, бронхиальное дерево, трахеобронхиальное дерево

Биографическое определение

Дерево

Биографическое название

ˈtrē

Сэр Герберт (Draper) Beerbohm 1853–1917 Английский актер-менеджер

Подробнее от Merriam-Webster на

Tree

Nglish: Перевод Tree

.

Nglish: перевод Tree

. Перевод

дерево для говорящих на арабском языке

Britannica.com: статья в энциклопедии о дереве

Последнее обновление: — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster полное определение

в кембриджском словаре английского языка

Примеры дерева

Дерево

Они подобны двум деревьям, одно идет вниз, а другое поднимается вверх.

Из Phys.Org