Классическая теория электропроводности: Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Классическая теория электропроводности металлов

Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.

Электронная теория Друде-Лоренца

Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.

Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют «электронный газ».

Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ. 

Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.

Приведем основные положения теории Друде:

1. Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
2. Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
3. Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1τ.
4. Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.

Важно.

Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.

В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.

Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.

Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.

Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.

Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:

v=8kTπm

Здесь k — постоянная Больцмана, T — температура металла, m — масса электрона.

При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц «электронного газа» накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u. Величину этой скорости можно оценить из соотношения:

j=nqu,

где j — плотность тока, n — концентрация свободных электронов, q — заряд электрона.

При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз (≈108) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что

u→+v→≈v→

Формула Друде

Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:

σ=nq2τm*

Здесь m* — эффективная масса электрона, τ — время релаксации, то есть время, за которое электрон «забывает» о том, в какую сторону двигался после соударения.

Друде вывел закон Ома для токов в металле:

j=σ·E→

Опыт Толмена и Стюарта

В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.

Суть опыта была в следующем. 

Опыт Толмена и Стюарта

Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.

Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v’ (в катушке направлено вдоль проводов).

При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.

F=-mv’

Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E=-mv’q. Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:

ε=∫LEdl=-mv’q∫Ldl=-mv’qL

Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время dt:

IR=-mv’qL

dq=Idt=-mLdvqRdtdt=-mLdvqR

Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:

q=-mLqR∫v00dv=-mLv0qR

Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение qmсоответствовало отношению заряда электрона к его массе.

Пример

При T=300К  вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.

Решение.

Вычислим среднюю скорость, применяя формулу для идеального газа:

v=8kTπm

k=1,38·10-23 ДжК

m=9,31·10-31кг

Подставляем значения и вычисляем:

v=8·1,38·10-23·3·1023,14·9,31·10-31≈105 мс

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

§ 68. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ И ЕЕ ЗАТРУДНЕНИЯ

Классическая теория проводимости металлов предложена П. Друде и Х. Лоренцем и обоснована классическими опытами по изучению проводимости металлов.

Исследование природа носителей тока в металлах началось после открытия в 1897 г. Томсоном электрона.

В 1901 г. К. Рикке провел опыт по длительному пропусканию тока через три последовательно соединенных цилиндра медный-алюминиевый-медный, которые были перед опытом взвешены. За год через систему прошел заряд порядка 3,5 МКл, но масса цилиндров не изменилась, а в области тщательно отполированных торцов не было обнаружено переноса вещества.

Следовательно, атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе зарядов при токе, а ток обеспечивается движением общих для всех металлов частиц, т. е. электронами.

Прямые доказательства того, что ток в металлах обусловлен движением электронов были получены Р. Толменом и Б. Стюартом, которые в 1916 г. определили удельный заряд носителей тока, усовершенствовав методику опытов, проведенных С. Л.Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1913г.

Опыт заключался в том, что соленоид, вращающийся вокруг своей оси, резко останавливали (рис. 195). Концы обмотки соленоида, с помощью скользящих контактов, были замкнуты на гальванометр, который при торможении регистрировал импульс тока. При длине обмотки порядка 500 м и линейной скорости вращения порядка 300 м/с удалось с достаточно большой точностью определить удельный заряд носителей тока:

Кл/кг, что соответствовало электронам.

РИС.195 РИС.196

Согласно представлениям классической теории Друде-Лоренца при образовании кристаллической решетки металлов освобождаются слабо связанные с атомами валентные электроны. Хаотическое движение электронов по всему объему проводника, столкновение с узлами кристаллической решетки соответствует тепловому равновесию между электронным газом и решеткой.

Энергия теплового движения электронов может быть оценена при использовании выводов молекулярно-кинетической теории и рассмотрении электронов как одноатомного газа.

В этом случае средняя скорость хаотического движения:

, которая, при комнатной температуре около 300 К, составляет порядка 100 км/с.

При создании в проводнике электрического поля возникает упорядоченное движение всего электронного газа, средняя скорость которого может быть оценена из формулы:

.

Например, для медного провода при концентрации электронов проводимости

и допустимой плотности тока 107 А/м2 средняя скорость направленного движения составляет: М/с.

Высокая скорость распространения электрического тока по цепи обусловлена не скоростью направленного движения электронов, а скоростью распространения электромагнитного поля, индуцирующего направленное движение электронов по всей цепи.

Теоретические расчеты на основании этой теории хорошо согласовывались с экспериментальными законами Ома и Джоуля — Ленца и позволяли объяснить природу проводимости металлов.

Например, средняя скорость направленного движения электрона при свободном движении между столкновениями с ионами равна:

.

Тогда плотность тока:

, где <l> — среднее расстояние между узлами кристаллической решетки проводника.

В полученной формуле выражение перед вектором напряженности электрического поля соответствует удельной проводимости и, таким образом, обосновывает природу проводимости металлов.

Теория Друде-Лоренца позволила также объяснить эффект Холла, обнаруженный в 1879 г., который заключался в том, что при пропускании тока по проводящей пластине, помещенной в магнитное поле, между гранями пластины возникает разность потенциалов (рис.196). Экспериментальный закон для разности потенциалов:

, где R – постоянная Холла.

Возникновение разности потенциалов можно объяснить повышением концентрации электронов возле верхней грани пластины под действием силы Лоренца. Смещение электронов продолжается до тех пор, пока сила со стороны возникшего электрического поле не уравновесит силу Лоренца:

. Тогда: .

Так как

, то .

Следовательно, постоянная Холла

, т. е. определялась концентрацией электронов и зарядом электрона.

Эффект Холла позволял экспериментально определять концентрацию носителей тока и их знак основных носителей в случае примесной проводимости полупроводников и т. п.

На основе классической теории Друде-Доренца не удалось объяснить следующие экспериментальные факты:

1)линейную зависимость сопротивления от температуры; согласно электронной теории

;

2)свехпроводимость;

3)закон Дюлонга-Пти: молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова, не зависит от температуры и равна 3R. Этот закон достаточно хорошо выполняется и для диэлектриков и для металлов, что непонятно с точки зрения электронной теории.

В диэлектриках нет свободных электронов и теплоемкость определяется числом степеней свободы кристаллической решетки. В металлах, с точки зрения электронной теории, теплоемкость должна складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа и, следовательно, быть около 4,5R.

4)постоянная Холла для свинца, цинка, железа имела положительный знак.

§8. Классическая теория электропроводности металлов и ее недостатки.

Изучение природы носителей тока в проводниках (металлах) было начато опытом Рике (1901 г.). Два медных и один алюминиевый цилиндры с тщательно отполированными торцами были взвешены и включены в цепь тока (рис. 8.1.).

В течение года через цилиндры пропускали ток (общий заряд 3,5_*10⁶ Кл). Взвешивание показало, что пропускание тока вес цилиндров не изменило.

Результат свидетельствовал о том, что перенос заряда осуществлялся не атомами.

Для отожествления носителей тока с электронами, открытыми Д.Д. Томпсоном в 1897 году, Л. Мандельштам и Н. Папалекси (1913 г. ), Р. Толмен и Т. Стюарт (1916 г.) поставили опыты. Идея опытов основана на следующих рассуждениях. Если в металлах имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении проводника они должны некоторое время двигаться по инерции, в результате чего в проводнике будет перенесен некоторый заряд. Цилиндрическая катушка с намотанным проводом раскручивалась и резко тормозилась. Эффект переноса заряда регистрировался приборами. Количественный результат для удельного заряда носителей тока был близок к e/m_e для электронов.

Исходя из представлений о свободных электронах как носителях тока, П. Друде (1863-1906) разработал классическую теорию проводимости металлов, которую затем усовершенствовал Х. Лоренц (1853-1928). В этой теории электроны уподобляются молекулам идеального газа. Проводимость рассматривается как систематический дрейф под воздействием электрического поля, наложенный на хаотическое тепловое движение.

Методы молекулярно-кинетической теории идеального газа позволяют оценить среднюю скорость теплового движения свободных электронов (V_т)

^, (8. 1)

где k — постоянная Больцмана,

T — абсолютная температура,

m_e — масса электрона.

При T = 300⁰К,

V_т  10⁵ м/с.

В силу хаотичности, тепловое движение не дает переноса зарядов в отсутствие всякого внешнего поля. Однако, в результате статистических флуктуаций векторная сумма скоростей теплового движения электронов за небольшие промежутки времени может быть отличной от нуля, что приводит к возникновению спонтанно флуктуирующего «шумового» тока. «Шумовой» ток определяет в конечном счете предел чувствительности устройств, регистрирующих слабые электрические сигналы.

При включении электрического поля возникает дрейф электронов проводимости. Среднюю скорость дрейфа легко оценить, воспользовавшись уравнением (7. 1):

Для меди, например, предельно допустимая плотность тока j_Cu= 10⁷ А/м²

, а n = 10²⁹ м^–3, поэтому

V_др = 10^—3 м/с.

Сравнение величины средней скорости теплового движения и скорости дрейфа позволяет за результирующую скорость электрона проводимости принимать модуль скорости теплового движения.

Рассмотрим проводник как объем, в котором находится идеальный электронный газ. Электроны, находясь в дрейфовом и тепловом движении, испытывают соударения. Обозначим среднее время между соударениями через  (время свободного пробега). Под действием электрического поля напряженностью E электрон к концу пробега приобретет максимальную скорость дрейфа

(8. 2)

Так как скорость дрейфа за время пробега меняется линейно, то ее среднее значение равно

(8.3)

Подставим полученное значение в (7.1), тогда получим

(8.4)

Таким образом, плотность тока оказалась пропорциональной напряженности электрического поля (закон Ома в дифференциальной форме). Коэффициент пропорциональности равен удельной проводимости

(8.5)

Среднее время свободного пробега  связано со средней длиной свободного пробега  следующим образом: =/V_T. Подставив это выражение в (8.5), получим

(8.6)

Определяющим в процессе проводимости является взаимодействие свободных электронов с кристаллической решеткой металла.

Интересно физическое подобие механизмов электро- и теплопроводности. Металлы хорошо проводят тепло и электрический ток. Если сравнить значение удельного коэффициента теплопроводности для одноатомного идеального газа, равное

где k — постоянная Больцмана, и выражение (8.6) для удельной электропроводности, то с учетом получим следующее отношение:

(8.7)

которое называется законом Видемана – Франца и отражает тот факт, что свободные электроны являются основными участниками процессов тепло — и электропроводности. Этот результат довольно хорошо подтвердился на опыте и долгое время считался доказательством правильности исходных положений классической теории электропроводности и теплопроводности металлов, несмотря на то, что в вопросе теплоемкости электронов в металлах эта теория приводила к резкому противоречию с опытом.

Очевидный успех классической теории электропроводности встречается с некоторыми существенными затруднениями также при объяснении температурной зависимости проводимости.

Известно, что удельное сопротивление металлов в определенной области температур изменяется по закону

(8.8)

где ₀ — удельное сопротивление при t = 0⁰ C,

 — температурный коэффициент сопротивления,

t — температура по шкале Цельсия,

а из формулы (8.6) следует, что

Трудно дать классическое толкование физическому явлению перехода ряда проводников в сверхпроводящее состояние при температурах ниже определенной критической температуры Т_к, характерной для данного материала. Впервые исчезновение сопротивления ртути при понижении температуры наблюдал голландский физик Х. Камерлинг-Оннес (1911 г.). Он пришел к выводу, что ртуть при Т = 4,15К переходит в новое состояние, которое было названо сверхпроводящим. Вещества, у которых при охлаждении ниже критической температуры Т_к сопротивление падает до нуля называются сверхпроводниками. К сверхпроводникам относятся элементы периодической системы, расположенные в так называемых «островах» сверхпроводимости, в частности: Ti (0,39K), Zr (0,546K), Nb (9,46K), Mo (0,95K), Zn (0,875K), Hg (4,153K), Pb (7,18K), Al (1,19K), Th (1,4K). Переход в сверхпроводящее стояние обнаружен также у целого ряда металлических сплавов и соединений. У ряда сверхпроводящих сплавов отдельные компоненты или даже все компоненты сами по себе не являются сверхпроводниками. Например: PbTl₂ , Sb₂Sn₃ , Bi₅Tl₃ , Hg₅Tl₂ , VN, TiN, TiC сплавы сверхпроводника и несверхпроводника сплавы несверхпроводников WC, W₂C, MoC, Mo₂C.

Недостатки классической теории электропроводности удалось преодолеть А. Зоммерфельду (1868-1951), который для описания состояния электронного газа применил квантовую статистику Ферми-Дирака и тем устранил противоречия теории и эксперимента при объяснении электропроводности, теплопроводности и теплоемкости электронного газа в металлах.

Крепким орешком оказалась проблема объяснения природы сверхпроводимости. Исследуя различные возможности объяснения сверхпроводников, немецкие физики Х. И Ф. Лондоны в 1934 г. пришли к заключению, что сверхпроводящее состояние является макроскопическим квантовым состоянием металла. На основе этого представления они создали феноменологическую теорию, объясняющую отсутствие сопротивления у некоторых проводников. Обобщение теории Лондонов, сделанное советскими физиками В. Гинзбургом и Л. Ландау (1950), позволило рассмотреть поведение сверхпроводников в сильных магнитных полях. При этом было объяснено огромное количество экспериментальных данных и предсказаны новые важные явления.

Классическая электронная теория металлов

Свойства металлов:

• Все металлы подчиняются закону Ома
  
• Металлы обладают высокой теплопроводностью и электропроводностью
  
• Металлы подчиняются положительному температурному коэффициенту сопротивления (т. увеличивается) 
• При комнатной температуре удельное сопротивление пропорционально абсолютной температуре (T)

• При низких температурах сопротивление металла прямо пропорционально 5-й степени его абсолютной температуры (Т)

• Отношение теплопроводности к электропроводности прямо пропорционально абсолютной температуре
  

т. е. закон Видемана-Франца

Теория металлов со свободными электронами Лоренца-Друде:

• Эта теория была разработана Лоренцем и Друде в 1900
  
• В металлах имеется большое количество свободных электронов, свободно движущихся во всех возможных направлениях
  
• Считается, что свободные электроны в металлах ведут себя как молекулы газа, подчиняющиеся кинетической теории газов
  

• В металлах электроны движутся беспорядочно и сталкиваются либо с положительными ионами, либо со свободными электронами, все столкновения упругие (т. е. без потери энергии)
• Когда к металлу приложено поле электронов, свободные электроны ускоряются в направлении, противоположном приложенному полю

• Дополнительная скорость, приобретаемая свободными электронами в направлении, противоположном приложенному полю, называется Скорость дрейфа

Некоторые важные определения Среднее время столкновения :  Продолжительность между двумя последовательными столкновениями, когда электрон находится в случайном движении, называется средним временем столкновения Средний свободный путь :  Среднее расстояние, проходимое электроном между двумя последовательными столкновениями при их хаотических движениях, называется средней длиной свободного пробега Скорость дрейфа :  Когда к металлу прикладывается электрическое поле (E), на электроны действует сила (F), направленная в направлении, противоположном приложенному полю. эта сила называется Drift Velocity мы знаем, что (E — приложенное поле) (e — заряд электрона) здесь знак -ve указывает на поток электронов в направлении, противоположном приложенному полю мы также знаем, что сила, вызванная его движением путем приравнивания (1) и (2) Мобильность : В стационарном состоянии скорость дрейфа на единицу электрического поля называется подвижностью. Время релаксации: Время, необходимое для того, чтобы дрейфовая скорость электрона уменьшилась в 1/e раз от своего начального значения, называется временем релаксации

дрейфовая скорость электрона в присутствии электрического поля изменяется как при снятии электрического поля скорость дрейфа постепенно уменьшается Выражение для электропроводности Ток (i), протекающий по проводнику с числом электронов «n» и площадью поперечного сечения «A», рассчитывается как (здесь знак -ve указывает на поток электронов в направлении, противоположном приложенному полю) (Дж — плотность тока) При приложении электрического поля каждый электрон испытывает силу и дрейфовую скорость Таким образом, соотношение между плотностью тока и скоростью дрейфа определяется как Примечание: электрическая проводимость = плотность тока / единица электрического поля , подставив значение J/E в приведенное выше уравнение, мы получим

Дополнительная информация : Электрическая проводимость обратно пропорциональна сопротивлению его тоже можно считать таким отсюда получаем , а также в формуле электропроводности значение «с» равно . Следовательно, Следовательно,

Недостатки классической теории свободных электронов металлов:

1. Температурная зависимость электропроводности:

Согласно классической теории свободных электронов электропроводность металлов определяется выражением,

Из приведенного выше уравнения соотношение между температурой и электропроводностью определяется как

Следовательно, классический свободный электрон не может объяснить температурную зависимость электропроводности

2.   Зависимость электропроводности от концентрации электронов:

Согласно классической теории свободных электронов электропроводность металлов определяется выражением,

, затем

По результатам экспериментов прямой связи между электропроводностью и концентрацией электронов нет

3.   Удельная теплоемкость металла:
Если считать 1 кг моль твердого тела, то

—— Уравнение — (1)

Согласно определению удельной теплоемкости,

—— Уравнение — (2)

Приравнивая уравнение — (1) и уравнение — (2), получаем

Экспериментальное значение в 100 раз меньше классического. Следовательно, теория Лоренца-Друде не может объяснить удельную теплоемкость твердого тела.

4. Классическая теория не может объяснить закон Видемана-Франца, то есть при более низких температурах отношение теплопроводности к электропроводности пропорционально температуре.

5. Электропроводность полупроводников и изоляторов не объясняется.

Подлежит проверке (важно) Согласно классической теории свободных электронов Из этого уравнения видно, что Но по результатам эксперимента Классическая теория свободных электронов не может объяснить температурную зависимость электронной проводимости 2. Зависимость электропроводности от концентрации электронов: Согласно этой теории Но согласно экспериментальным результатам, нет прямой зависимости между электропроводностью и концентрацией электронов 3. Удельная теплоемкость металла: Если считать 1 к.моль металла Согласно определению удельной теплоемкости подставив m = 1/К.моль, получим мы знаем , подставив эти значения Экспериментальное значение в 100 раз меньше классического. Следовательно, Лоурендж Друд не может объяснить удельную теплоемкость твердого тела 4. Не объясняет закон Видемана Френца 5. Это не могло объяснить : Фотоэлектрический эффект. Эффект Кромптона. Излучение черного тела. Электрическая проводимость полупроводников и изоляторов

Свободная электронная теория металлов | Проводимость

РЕКЛАМА:

В этой статье мы обсудим: 1. Введение в теорию свободных электронов 2. Электропроводность согласно теории свободных электронов 3. Ограничения.

Введение в теорию свободных электронов:

Согласно Друде, металлы состоят из ядер положительных ионов, между которыми свободно перемещаются валентные электроны. Таким образом, электроны вынуждены двигаться внутри металла из-за электростатического притяжения между ядрами положительных ионов и электронами.

Потенциальное поле этих ионных остовов, ответственное за такое взаимодействие, считается постоянным во всем металле, а взаимным отталкиванием электронов пренебрегается.

ОБЪЯВЛЕНИЙ:

Считается, что поведение свободных электронов, движущихся внутри металлов, похоже на поведение атомов или молекул в идеальном газе. Поэтому эти свободные электроны также называются свободным электронным газом, а теория соответственно называется моделью свободного электронного газа. Однако газ свободных электронов в некоторых отношениях отличается от обычного газа.

Во-первых, газ свободных электронов заряжен отрицательно, тогда как молекулы обычного газа в основном нейтральны. Во-вторых, концентрация электронов в электронном газе достаточно велика по сравнению с концентрацией молекул в обычном газе. Валентные электроны также называются электронами проводимости и подчиняются принципу запрета Паули. Эти электроны отвечают за проводимость электричества через металлы.

Поскольку электроны проводимости движутся в однородном электростатическом поле ионных остовов, их потенциальная энергия остается постоянной и обычно принимается равной нулю. Таким образом, полная энергия электрона проводимости равна его кинетической энергии. Кроме того, поскольку движение электронов проводимости ограничено только внутри кристалла, потенциальная энергия неподвижного электрона внутри металла меньше, чем потенциальная энергия идентичного электрона вне его.

Эта разность энергий, В ₀ , служит потенциальным барьером и препятствует выходу внутренних электронов с поверхности металла. Таким образом, в модели свободного электронного газа движение свободного электронного газа внутри ящика потенциальной энергии, который в одномерном случае представлен потенциальной ямой, как показано на рис. 5.1.

В 1909 году Х.А. Лоренц постулировал, что электроны, составляющие электронный газ, подчиняются статистике Максвелла-Бульцмана в условиях равновесия. Эта идея вместе с рассмотрением Друде приводит к созданию теории Друде-Лоренца. Эта теория также известна как классическая теория.

Свободные электроны в металле движутся изотропно и движутся в определенном направлении при приложении электрического поля. Из-за упругих столкновений величина установившегося тока
пропорциональна приложенному напряжению при условии, что температура металла остается постоянной. Это приводит к закону Ома.

Более того, поскольку свободные электроны могут легко двигаться, металлы обладают высокой электропроводностью и теплопроводностью. Отношение электропроводности «σ» к теплопроводности «K» должно быть постоянным для всех металлов при постоянной температуре, т. е. σ/K = константа. Это называется законом Вайдемана-Франца, который реализуется и на практике.

Эта теория также объясняет блеск и непрозрачность металлов. Когда электромагнитное излучение падает на поверхность металла, свободные электроны приходят в вынужденное колебание. Электроны возвращаются в свое нормальное состояние, излучая одинаковое количество энергии во всех направлениях, и, следовательно, производят металлический блеск.

Электропроводность согласно теории свободных электронов:

ОБЪЯВЛЕНИЯ:

На основе теории свободных электронов электроны свободно перемещаются в твердом теле, поэтому интересно посмотреть на влияние внешнего электрического поля на эти электроны. Пусть E — приложенное электрическое поле, m — масса электрона, а e — заряд электрона. Сила F, вызванная приложенным полем, будет равна

Ф = еЕ

Также F = ma, где a — ускорение.

∴ а = еЕ/м

ОБЪЯВЛЕНИЯ:

Из-за столкновений электронов во время движения электроны не будут бесконечно ускоряться. На самом деле их скорость упадет до нуля. Если τ — время релаксации (время столкновения), то средняя скорость электронов, известная как скорость дрейфа, определяется как

vd = aτ = (eE/m) τ … (i)

Пусть I будет током, переносимым проводником при приложении электрического поля E, соответствующего скорости дрейфа v _д . За время dt электроны пройдут расстояние v _d dt, а число электронов, пересекающих любую площадь поперечного сечения A за время dt, будет содержаться в объеме Av _d dt. Таким образом, если на единицу объема проводника приходится n электронов, то полный заряд, протекающий через сечение за время dt, равен

.

dQ = enAv _d dt

ОБЪЯВЛЕНИЯ:

или I = dQ/dt = en Av _d

А плотность тока J = I/A = en v _d … (ii)

Используя уравнение (i), мы имеем

Дж = en (eEτ/м) = ne ² τE/м … (iii)

Для конкретного материала величина ne ² τ/м в (iii) постоянна при определенной температуре и известна как электропроводность «σ» материала.

∴ J = ne ² τE/m = σE … (iv)

или σ = ne ² τ/m … (v)

Мы знаем, что сопротивление R проводника определяется выражением-

R = r l/A, где r — удельное сопротивление материала, а l — длина проводника. Также r = 1/σ, поэтому из уравнений (i) и (iv) имеем

I = JA = σEA = EA/ᵨ = El/R

Также E = V/l

∴ I = Vl/Rl = V/R

, что есть не что иное, как закон Ома. Вот почему уравнения (iv) и (v) также известны как закон Ома.

Уравнение (v) можно также записать как

Где µ (= eτ/m) – подвижность, приобретаемая электронами в присутствии электрического поля. Используя уравнение (i), подвижность электронов также можно выразить как0030

Таким образом, подвижность электрона в металле определяется как стационарная дрейфовая скорость на единицу электрического поля.

Пусть λ будет средней длиной свободного пробега, а V’ будет среднеквадратичной скоростью электронов, тогда время релаксации (обычно известное как среднее время между столкновениями) τ определяется как

Теперь электрическая проводимость «σ» может быть выражена как-

Поскольку удельное электрическое сопротивление r обратно пропорционально электрической проводимости «σ».

или ρ ∝ √T

Приведенный выше результат показывает, что удельное сопротивление изменяется как √T, тогда как на самом деле обнаружено, что оно линейно зависит от температуры.

Ограничения теории свободных электронов :

Были соблюдены следующие ограничения:

(а) Это не может объяснить, почему только некоторые кристаллы имеют металлическую природу.

(б) Это не может объяснить, почему металлы предпочитают только определенную структуру, т.е. Fe имеет кубическую форму, а Zn — гексагональную.

(c) Это не может объяснить, почему наблюдаемая удельная теплоемкость металлов составляет всего 1% от расчетного значения (т. е. 3/2 N K _B ; N — число свободных электронов на грамм атома).

(d) Это не может объяснить температурное изменение электропроводности.

(e) Это не может объяснить парамагнитное поведение металлов.

(f) Это также не могло объяснить появление больших длин свободного пробега при низких температурах.

Главная ››

[PDF] Электропроводность — Скачать бесплатно PDF

V

Dvanced полупроводниковая лаборатория 차세대 반도체 연구실

Глава 2. Электрическая и теплопроводящая в твердых веществах

V

Dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

Обзор В этой главе мы будем лечить конструкцию «e ‘in metale As» как «металл как свободные заряды», которые могут быть ускорены приложенным электрическим полем, чтобы объяснить электрическую и тепловую проводимость в твердом теле. Электрическая проводимость включает в себя движение зарядов в материале под влиянием приложенного электрического поля. Применяя 2-й закон Ньютона к движению «е» и используя концепцию «среднего свободного времени» между столкновениями «е» с колебаниями решетки, дефектами кристалла, примесями и т. д., мы получим фундаментальные уравнения, управляющие электропроводностью в твердых телах. Теплопроводность, т. е. перенос теплового Е из областей с более высокой температурой в область с более низкой температурой в металле, включает в себя проводимость «е», переносящую энергию. Поэтому в этом учебнике будет рассмотрена взаимосвязь между электропроводностью и теплопроводностью.

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

СОДЕРЖАНИЕ Электропроводность металлов: 2.1 Классическая теория: модель DRUDE 2.2 Температурная зависимость удельного сопротивления 2.3 Правила Маттиссена и Нордхейма 2.4 Удельное сопротивление смесей и пористых материалов 2.5 Эффект Холла и устройства Холла Теплопроводность: 2.6 Теплопроводность Электропроводность неметаллов: 2.7 Электропроводность неметаллов Дополнительные вопросы: 2.9 Тонкие металлические пленки 2.10 Межсоединения в микроэлектронике 2.11 Электромиграция и уравнения Блэка

V

dvanced Semiconductor Lab. из описания плотности тока  В проводнике, где ‘e’ дрейфует в присутствии электрического поля, плотность тока определяется как чистое количество заряда, протекающего через единицу площади в единицу времени

q Дж A т

Дж : плотность тока

q : чистое количество заряда

, протекающего через площадь A в Ex

В этой системе электроны дрейфуют со средней скоростью vdx в направлении x, называемой дрейфовой скоростью. (Здесь Ex — электрическое поле.)

 Скорость дрейфа определяется как средняя скорость электронов в направлении x в момент времени t, обозначаемая как vdx(t)

vdx 

1 [v x1  v x 2  v x 3  …  v xN ] N

vxi : x направление скорости i-х электронов N : # электронов проводимости в металле

[2.1]

V

Dvanced полупроводниковая лаборатория 차세대 반도체 연구실

2.1.1 Металлы и проводимость с помощью электрических q enAv dx t  At At

Дж x (t )  envdx (t )

[2.2]

: За время Δt общий заряд Δq, пересекающий площадь A, равен enAΔx, где Δx= vdxΔt, а n принимается равным числу «e» на единицу объема в проводнике (n=N/V). : полезная зависимость плотности тока от времени, поскольку средняя скорость в один момент времени не такая, как в другой момент времени из-за изменения Ex

 Подумайте о движении проводимости «e» в металлах, прежде чем вычислять Vdx.

(a)

Проводимость «е» в электронном газе беспорядочно движется в металле (со средней скоростью u), часто и беспорядочно рассеиваясь тепловыми колебаниями атомов. В отсутствие приложенного поля нет чистого дрейфа в любом направлении.

Ex  Ex (t )

(b) При наличии приложенного поля Ex имеется чистый дрейф вдоль оси x. Этот суммарный дрейф вдоль силы поля накладывается на беспорядочное движение электрона. После многих актов рассеяния электрон сместился на чистое расстояние Δx от своего начального положения к положительной клемме

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.1.1 Металлы и проводимость электронов ‘ в направлении х в t. Так как это ускорение a «e» [F=qE=ma], пусть uxi будет начальной скоростью «e» i в направлении x сразу после столкновения. Vxi записывается как сумма uxi и ускорения «e» после столкновения. Здесь мы предполагаем, что его последнее столкновение было в момент времени ti; следовательно, за время (t-ti) он разгонялся без столкновений, как показано на рис.2.3.

me vxi в направлении x в момент времени t определяется как

uxi — это скорость i’e’ в направлении x после столкновения

Однако это только для i-го электрона. Нам нужна средняя скорость vdx для всех таких электронов вдоль x в виде следующего уравнения.

vdx 

1 eEx [vx1  vx 2  vx3  …  vxN ]  (t  ti ) N me

(t-ti) : среднее время свободного пробега N электронов между столкновениями (~ τ = среднее время свободного пробега или среднее время рассеяния) Рис. 2.3. Скорость, полученная в направлении x во время t от электрического поля ( E x ) для трех разных электронов. В металле будет N электронов.

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.1.1 Металлы и проводимость электронов  Дрейфовая подвижность (в сравнении со средним временем свободного пробега): широко используемый электронный параметр в физике полупроводниковых устройств. Предположим, что τ — среднее время свободного пробега или среднее время рассеяния. Тогда для одних электронов (tti) будет больше, а для других меньше, как показано на рис. 2.3. Усреднение (tti) для N электронов будет таким же, как . Таким образом, мы можем заменить (t-ti) в предыдущем выражении, чтобы получить







vdx 

e Пр. Константе пропорциональности e / me присвоено специальное имя и символ, называемый дрейфовой подвижностью  d , который определяется как

vdx  d Ex

, где d 

e me

[2.4]

[2.5]

 , которое часто называют временем релаксации, напрямую связано с микроскопическим

процессы, вызывающие рассеяние электронов в металле; то есть колебание решетки, несовершенства кристаллов и примеси.

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.1.1 Металлы и проводимость электронов Из выражения для дрейфовой скорости vdx немедленно следует плотность тока Jx… подставив уравнение 2.5 x 908 в 2.90, т.е.  en d Ex

 Ex [2.6]

Следовательно, плотность тока пропорциональна электрическому полю, а коэффициент проводимости определяется выражением

  en d



[2.7]

Затем найдем температурную зависимость проводимости (или удельного сопротивления) металла, учитывая среднее время .





Среднее время между столкновениями имеет дополнительное значение. Его 1/ представляет собой среднюю частоту столкновений или событий рассеяния; то есть 1/ — это средняя вероятность рассеяния электрона в единицу времени. Следовательно, за небольшой промежуток времени t вероятность рассеяния будет равна t/.

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.2 Температурная зависимость удельного сопротивления Чтобы найти температурную зависимость  , рассмотрим температурную зависимость среднего времени свободного пробега  , поскольку она определяет скорость дрейфа. Рис 2.5 Рассеяние электрона от теплового колебания атомов. Электрон  проходит среднее расстояние l  u между столкновениями. Так как площадь сечения рассеяния равна S, то в объеме Sl должен быть хотя бы один рассеиватель, так как

NSSU   1 Том

  A1

2



1 Солнца

[2.11]

нс: концентрация Центра рассеяния

, когда ведущие электрические. тепловых колебаний иона металла, то  в выражении подвижности d  e m относится к среднему времени e между актами рассеяния в этом процессе.

S : площадь поперечного сечения u : средняя скорость a : амплитуда колебаний

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.2 Зависимость удельного сопротивления от температуры  Проводимость, ограниченная рассеянием на решетке: удельное сопротивление проволоки из чистого металла увеличивается линейно с температурой из-за рассеяния электронов проводимости тепловыми колебаниями атомов.  особенность металла (ср. полупроводники) Тепловые колебания атома можно рассматривать как простое гармоническое движение, почти такое же, как движение массы М, прикрепленной к пружине. Из кинетической теории материи

1 1 Ма 2 w2 (средняя кинетическая энергия колебаний)  kT 4 2 So a 2  T . Это имеет смысл, потому что повышение T увеличивает колебания атомов. Таким образом,

1 1 C Поскольку среднее время между событиями рассеяния τ обратно  или   2 a 2 T T пропорционально площади a, которая рассеивает «e», eC (чтобы показать связь с T), заменяя  в d  e / me получается  d  meT meT 1 1 Итак, удельное сопротивление металла T    [2. 12] T end e 2 нКл T  AT



V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2.3 Правила MATTHIESSEN и NORDHEIM. 2.3.1 Правило Маттиссена и температурный коэффициент удельного сопротивления. Теория проводимости, учитывающая рассеяние от колебаний решетки, хорошо работает только с чистым металлом и не работает с металлическими сплавами. Их удельное сопротивление слабо зависит от T, поэтому для металлических сплавов требуется другой тип механизма рассеяния. Рассмотрим металлический сплав, в котором атомы примеси распределены случайным образом.

Напряженная область примесью оказывает рассеивающую силу F = — d (PE) /dx

I

У нас есть два средних времени свободного пробега между столкновениями.  T : рассеяние только от тепловых колебаний

 i : рассеяние только от примесей В единицу времени1 чистая вероятность рассеяния определяется как процессы рассеяния, связанные только с рассеянием на примесях и только на тепловых колебаниях.

Т

i

Тогда, поскольку подвижность дрейфа зависит от эффективного времени рассеяния, эффективная подвижность дрейфа определяется

1 1 1 1   UD U L U I

[2.14]

V

DVAND SemiConductor Lab 차세대 반도체 반도체 반도체 반도체 반도체 반도체 반도체 연구실

2.3.1 Правило Маттиссена и температурный коэффициент сопротивления где u L – дрейфовая подвижность, ограниченная рассеянием на решетке, uI – дрейфовая подвижность, ограниченная рассеянием примесей. Поскольку эффективное удельное сопротивление  материала равно



1 1 1   enud enul Enui

1 / ENUD

, который может быть написан   T   I

[2,15]

Это правило и суммирование Правило Маттиссена. Кроме того, в общем случае эффективное удельное сопротивление может быть определено как удельное сопротивление показывает очень небольшую зависимость от T, тогда как ρT = AT.

  oT ϩ B

[2.17]

V

DVAND Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

2. 3.1 Правило Маттиссена и температурный коэффициент сопротивления  Температурная коэффициент сопротивления (TCR) EQN. 2.17 показывает, что удельное сопротивление металла зависит от Т, причем А и В зависят от материала. Вместо того, чтобы перечислять A и B в таблицах удельного сопротивления, мы предпочитаем температурный коэффициент, который относится к небольшим нормализованным изменениям относительно эталонной температуры.

0 

1    0 T T T0

[2.18]

— чувствительность сопротивления к температуре аналогична уравнению

5. 2.17, затем уравнение. 2.18 Приводит к

  0 1  0 (T  T0) 

[2.19]

, где A0 постоянна в диапазоне температуры T0 до T,

   O

&

T  T  To

V

dvanced Semiconductor Lab 차세대 반도체 연구실

Удельное сопротивление различных металлов в зависимости от T Однако   AT  B является лишь приближением для некоторых металлов и не верно для всех металлов. Это связано с тем, что происхождение рассеяния может быть различным в зависимости от температуры. 100

t

2000 Inconel-825 NICR отопление

1000

10

Сброс от вибрации

Железо

Устойчивость (n m)

Устойчиво

Т

Tin 100 Platinum

 (n m)

3.5

0.1

  T5

0.01

T

3 2.5 2

Copper

Nickel

0.001

Silver

0.0001

  T5

1.5 1

0.5  = R

  R

0

0

Scattering from impurity 0.00001

10 100

1000

10000

10

100

20

40

60

80

100

T (K)

1000

10000

Температура (K)

Температура (K)

. температура выше 0°С. Олово плавится при 505 К, тогда как никель и железо претерпевают превращения из магнитного в немагнитное (Кюри) при температуре около 627 К и 1043 К соответственно.