Список сокращений \ КонсультантПлюс
Список сокращений
Сокращение | Расшифровка |
ЕГРН | Единый государственный реестр налогоплательщиков |
ЕГРЮЛ | Единый государственный реестр юридических лиц |
ЕНВД | Единый налог на вмененную деятельность |
ИФНС | Инспекция ФНС России |
КПП | Код причины постановки на учет в налоговом органе |
КРСБ | Карточка расчетов с бюджетом |
КСКПЭП | Квалифицированный сертификат ключа проверки электронной подписи |
«ЛК ЮЛ» | Личный кабинет налогоплательщика — юридического лица |
МИ ФНС России по КН | Межрегиональная инспекция ФНС России по крупнейшим налогоплательщикам |
ФКУ «Налог-Сервис» ФНС России | Федеральное казенное учреждение «Налог-Сервис» Федеральной налоговой службы (г. Москва) |
МРИ ФНС России | Межрайонная инспекция ФНС России |
НП | Налогоплательщик |
ОГРН | Основной государственный регистрационный номер |
ПК | Программный комплекс |
ПО | Программное обеспечение |
ПЭ | Промышленная эксплуатация |
РК | Регистрационная карточка (в СЭД) |
СЭД | Система электронного документооборота |
ПК «СЭОД» | Программный комплекс местного уровня «Система электронной обработки данных» |
ТП | Технологический процесс |
УФНС | Управление ФНС России |
ФАП | Фонд алгоритмов и программ |
ФБД | Федеральная база данных |
ФЗ | Федеральный закон |
ФПД | Файл передачи данных |
ФХД | Федеральное хранилище данных |
ЮЛ | Юридическое лицо |
Открыть полный текст документа
ДКС: Огнестойкие кабели витая пара FRHF
02 октября 2020
Уважаемые коллеги и партнеры!
Компания ДКС сообщает о начале продаж структурированной кабельной системы на основе огнестойких кабелей.
СКС, построенные на основе огнестойких кабелей в исполнении FRHF (ГОСТ IEC 60331-23-2011), предназначены для построения систем противопожарной обороны и жизнеобеспечения в условиях пожара, а также критических информационных инфраструктур.
Отличительные особенности кабелей FRHF ДКС:
- Огнестойкость: не менее 180 минут
- Сохранение скорости канала передачи: от 100 Мбит/с и выше
Применение FRHF кабелей позволяет построить системы управления автоматическим пожаротушением, обеспечения и управления эвакуацией, удаления продуктов горения и т.п. В критических инфраструктурах СКС на основе огнестойких кабелей позволяют продолжать управление, например, технологическим оборудованием и поддерживают его работоспособность, либо позволяют корректно завершить процессы. Огнестойкие кабели витая пара востребованы при строительстве высотных зданий, производственных и промышленных сооружений, лечебных учреждений и их отдельных подсистем.
В обозначении исполнения кабелей аббревиатуры обозначают:
- FR — fire resistant, огнестойкий
- HF — halogen free, не содержит галогены
ANS Group — официальный дистрибьютор ДКС в России.
Для получения более подробной информации и заказа продукции обращайтесь к нашим специалистам
по телефону: +7 (495) 225-83-39, e-mail: [email protected] или оставьте заявку на сайте:
Как заказать кабельные лотки, как выбрать лотки
Как заказать кабельные лотки.
Чтобы заказать металлические лотки необходимо выбрать бренд (производителя) лотков и разобраться в кодировке заказа. Единообразия в системе кодировки заказов у разных брендов нет. Каждый бренд использует свою собственную систему кодировки, но существенных различия два: одни бренды применяют цифровой код, самостоятельно присвоенный каждому изделию по всей номенклатуре, другие бренды используют буквенно-цифровой код, в котором отражаются такие параметры изделий, как:
— тип лотка и аксессуара, используются буквенные аббревиатуры или названия;
— толщина листа, используются цифры, у некоторых толщина листа кодируется буквами;
— ширина лотка и аксессуара, используются цифры, указывающие размер в миллиметрах;
— высота лотка или аксессуара используются цифры, указывающие размер в миллиметрах;
— длина лотка обозначается цифрой, указывающей длину лотка в метрах;
— тип антикоррозийной обработки изделия, в коде отражают не все производители;
Порядок следования подобной информации у разных производителей также различен.
В таблице ниже классифицированы бренды по способу кодирования заказа
Бренд
Пример формирования кода заказа
BAKS
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример:
ДКС
Тип кода заказа – цифровой.
Тип антикоррозийной обработки:
— сталь, оцинкованная по методу Сендимира является стандартным исполнением и никаких дополнительных букв в концу цифрового кода не предусмотрено;
— горячее цинкование погружением маркируется буквами HDZ в конце цифрового кода;
— нержавеющая сталь маркируется буквами INOX в конце цифрового кода;
— цинк-ламельное покрытие маркируется буквами ZL в конце цифрового кода;
— окраска порошковой краской, в конце цифрового кода маркируется буквами RAL и цифрами, указывающими цвет покрытия;
EAE Elektrik
Тип кода заказа – цифровой.
EKF Electrotechnica
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: lmn-50-50-0,7
GERSAN
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: GKKT-10- 1 D
KOPOS KOLIN
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: KO 90X35X100 S
NIEDAX
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: RSV 50.050 F
OSTEC
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: ЛНМЗТ(М)-50х50пр
Аббревиатура собрана из названия лотка: Лоток Неперфорированный Металлический Замкового Типа
VERGOKAN
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: KLLI 60*150
ЕКА
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: OLSERO LSR-100-25 S0.6 L2500
ЗЭМИ
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: Лоток ЛМ 100 (горячий цинк, S=1,5)
ИЕК
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: CLP10-050-400-3
КЗЭМИ
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: К1150
КМ-Профиль
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: LNE50*100*0.7
КОКС-ЭЛЕКТРО
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: ЛПЗ 50х25
Аббревиатура означает: Лоток Перфорированный Замковый
ОБО БЕТЕРМАНН
Тип кода заказа – цифровой.
СОЭМИ
Тип кода заказа – буквенно-цифровой. Пример: НЛ5-П1,87 У3
Многие производители реализуют свою продукцию через дистрибуторскую сеть, поэтому продавцом бренда выступает обособленная организация. К тому же, один и тот же продавец предлагает лотки разных брендов, что позволяет сравнить бренды по цене.
Диабетический кетоацидоз (ДКА): причины, симптомы, лечение
Что такое диабетический кетоацидоз?
Диабетический кетоацидоз, также известный как ДКА, представляет собой накопление кислот в крови. Это может произойти, когда уровень сахара в крови слишком высок в течение слишком долгого времени. ДКА является серьезным осложнением диабета и может быть опасным для жизни, но обычно требуется много часов, чтобы стать настолько серьезным. Вы можете лечить это и предотвратить это тоже.
Симптомы диабетического кетоацидоза
Симптомы диабетического кетоацидоза могут появиться быстро и даже могут быть вашим первым предупреждающим признаком того, что у вас диабет.Симптомы включают в себя:
Немедленно позвоните своему врачу или обратитесь в отделение неотложной помощи, если у вас есть какие-либо из перечисленных ниже симптомов, и ваши кетоны от умеренного до высокого, когда вы проверяете их с помощью домашнего набора, или если у вас более одного симптома:
- Вас рвало более 2 часов.
- Вас тошнит или болит живот.
- Ваше дыхание пахнет фруктами.
- Вы устали, сбиты с толку или одурманены.
- Тебе трудно дышать.
Причины диабетического кетоацидоза и факторы риска
Диабетический кетоацидоз обычно возникает из-за недостатка инсулина в организме.Ваши клетки не могут использовать сахар в крови для получения энергии, поэтому вместо этого они используют жир в качестве топлива. При сжигании жира образуются кислоты, называемые кетонами. Если процесс продолжается какое-то время, они могут накапливаться в крови. Этот избыток может изменить химический баланс вашей крови и вывести из строя всю вашу систему.
Люди с диабетом 1 типа подвержены риску кетоацидоза, так как их организм не вырабатывает инсулин. Ваши кетоны также могут повышаться, когда вы:
- Пропускаете прием пищи
- Болезни или испытываете стресс
- Реакция на инсулин
- Не вводите достаточное количество инсулина
ДКА может случиться с людьми с диабетом 2 типа, но это редкий.Если у вас тип 2, особенно в пожилом возрасте, у вас, скорее всего, будет состояние с некоторыми похожими симптомами, называемое ГГНС (гиперосмолярный гипергликемический некетотический синдром). Это может привести к сильному обезвоживанию.
Факторы риска ДКА включают:
Диагностика диабетического кетоацидоза и анализы
Проверяйте уровень кетонов, когда уровень сахара в крови превышает 250 мг/дл (миллиграмм на децилитр) или у вас есть какие-либо из перечисленных выше симптомов высокого уровня сахара в крови, например: сухость во рту, сильное чувство жажды или обильное мочеиспускание.
Уровень сахара можно проверить с помощью тест-полоски для мочи. Некоторые глюкометры также измеряют кетоны. Попробуйте снизить уровень сахара в крови и снова проверьте уровень кетонов через 30 минут.
Ваш врач может провести медицинский осмотр, спросить о ваших симптомах и обсудить вашу историю болезни. Они также могут заказать эти тесты для диагностики ДКА:
- Анализ крови, включая метаболический анализ и электролиты
- Анализ мочи
- Газы артериальной крови
- Артериальное давление
- Анализы на наличие признаков инфекции
- Рентген грудной клетки
- 4
- 4
- Инсулин внутривенно, чтобы снизить уровень кетонов
- Жидкости, чтобы вызвать обезвоживание и привести в равновесие химический состав крови калий и хлорид для правильной работы сердца, мышц и нервов
- Если у вас есть какие-либо инфекции, антибиотики
- Если ваш врач подозревает, что у вас есть риск сердечного приступа, дальнейшее обследование сердца
- Пейте много воды или безалкогольных напитков без сахара.
- Принимайте лекарства в соответствии с указаниями.
- Строго следуйте своему плану питания.
- Следите за своей программой упражнений.
- Регулярно проверяйте уровень сахара в крови.
- Проверить инсулин с истекшим сроком годности.
- Не используйте дозу инсулина, если в ней есть сгустки. Инсулин должен быть либо прозрачным, либо равномерно мутным с небольшими вкраплениями.
- Если вы пользуетесь инсулиновой помпой, внимательно следите за утечкой инсулина и проверьте соединения трубок на наличие пузырьков воздуха.
- Поговорите со своим врачом, если уровень сахара в крови часто выходит за пределы целевого диапазона.
- Регулируйте дозу инсулина с помощью своего врача или тренера по диабету. Внесите коррективы в зависимости от уровня сахара в крови, того, что вы едите, уровня активности или во время любой болезни.
- Создайте аварийный план DKA. Если уровень сахара в крови слишком высок или в моче слишком много кетонов, запланируйте поездку в больницу.
- «Не знаю» — это торговое выражение, используемое для описания сделки, которая не может быть выполнена из-за несоответствия в деталях сделки.
- Сделка «не знаю» происходит, когда одна из сторон оспаривает или отклоняет сделку по ряду причин, таких как несоответствие цены или количества акций.
- Эта тактика иногда используется как нечестный ход, чтобы выйти из сделки, когда рынок идет против трейдера.
- Комиссия по ценным бумагам и биржам (SEC) излагает правила процедуры, когда сделка запрещена.
Лечение диабетического кетоацидоза
Если не лечить кетоацидоз, можно потерять сознание, впасть в кому и, возможно, умереть.Вам следует обратиться в больницу для лечения ДКА. Там вам предоставят неотложную помощь, такую как:
Диабетический кетоацидоз Осложнения
Осложнения ДКА возможны, если вам не назначены неотложные методы лечения, такие как замена электролитов и введение инсулина.Они включают:
Профилактика диабетического кетоацидоза
Ваш врач может изменить дозу инсулина или вид инсулина, который вы используете, чтобы предотвратить повторение ДКА.
Надлежащий контроль уровня сахара в крови поможет вам избежать кетоацидоза в будущем. Убедитесь, что вы контролируете свой диабет с помощью диеты, физических упражнений, лекарств и ухода за собой.
Чтобы предотвратить ДКА, выполните следующие действия:
Не знаю (НЗ) Определение
Чего не знаю (НЗ)?
«Не знаю (DK)» — это сленговое выражение для сделки вне сделки, которое используется, когда есть несоответствие в деталях сделки.Это выражение, также известное как «сделка с отрицательным знаком», относится к ситуации, когда по крайней мере одна из вовлеченных сторон утверждает, что не знает какого-либо аспекта сделки или «не знает» сделки.
Цель биржи, такой как Нью-Йоркская фондовая биржа (NYSE), Nasdaq и Лондонская фондовая биржа (LSE), состоит в обеспечении организованного и эффективного рынка, на котором покупатели и продавцы могут торговать финансовыми инструментами, такими как акции, товары и т. и производные. Когда биржа получает сделку DK’d, она не может выполнить сделку из-за противоречивой информации, связанной со сделкой.Клиринговая палата биржи не сможет урегулировать сделку DK, поскольку условия сделки противоречивы или непоследовательны.
Ключевые выводы
Понимание «Не знаю» (НЗ)
Когда трейдер размещает ордер на покупку или продажу ценной бумаги, расчет или завершение сделки не происходит автоматически. Клиринговая палата выступает в качестве посредника, который согласовывает заказ между сторонами сделки, передавая ценные бумаги покупателю и наличные деньги продавцу.Этот процесс может занять несколько дней или больше после первоначального размещения сделки. В некоторых случаях сделка может не пройти полностью.
Сделка DK’d может быть результатом, когда одна из сторон сделки имеет спор или отклоняет сделку по ряду причин. В их записях может отсутствовать сделка или может быть несоответствие цены, количества акций или номера CUSIP. Иногда это может быть связано с неправильными инструкциями одной стороны другой. Иногда сторона может использовать эту тактику, чтобы выйти из сделки, когда рынок движется против нее, что было отмечено как недобросовестная тактика в финансовом секторе.
Правила SEC для DK-сделок
Комиссия по ценным бумагам и биржам (SEC) устанавливает определенные правила и процедуры для сделок DK’d, совершаемых на фондовом рынке Nasdaq, в своем Едином практическом кодексе. В правилах указывается, что любой контракт, который был отклонен противной стороной или который был сочтен отрицательным в соответствии с правилами обслуживания, может быть закрыт стороной, представившей контракт, без какого-либо уведомления в обычные торговые часы.
Далее правила гласят, что каждая сторона должна представить единообразное сравнение или подтверждение в течение рабочего дня, и эти сравнения или подтверждения будут сравниваться, чтобы определить, действительно ли существует какое-либо несоответствие в отношении сделки с DK.Если только сторона, подавшая заявку, представляет сравнение или подтверждение, другая сторона может быть уведомлена об этом, и у нее есть четыре рабочих дня для ответа. Если они этого не сделают, то заявитель не несет дальнейшей ответственности по сделке DK.
Подтверждение или сравнение должны включать конкретную информацию, изложенную SEC. Это включает описание ценной бумаги, цену, по которой была совершена транзакция, и любые другие конкретные фразы, которые помогают определить детали сделки.
Если трейдеры торгуют через электронную торговую платформу, часто они будут уведомлены через специальный код платформы о том, что сделка была отклонена.
Пример ответа «Не знаю» (НЗ)
Есть много способов отметить сделку как DK’d. Например, фирма XYZ покупает 1500 акций ABC у фирмы X. Когда фирма X поставляет акции фирме XYZ, фирма XYZ может отказать в сделке (DK), если условия поставки (цена, количество или конкретная ценная бумага) не соответствуют их записям, или если сделка вообще не числится в их записях.
DKS Руководство на 1 день | Кентский государственный университет
Часто задаваемые вопросы
В: Я не чувствую необходимости посещать пункт назначения в штате Кент.Является ли программа обязательной для новых студентов?
О: Да, программа Destination Kent State является обязательной. Destination Kent State: New Student Orientation разработан, чтобы помочь вам чувствовать себя более комфортно, когда вы начинаете занятия. В штате Кент мы верим в то, что учащимся необходимо предоставить инструменты, необходимые для достижения успеха. Мы прилагаем особые усилия в Destination Kent State, чтобы предоставить важную информацию как для студентов пригородных поездок, так и для студентов общежитий.
В: Что мне делать, если я хочу сменить специальность до или после посещения программы?
О: Если вы решите сменить специальность, как можно скорее свяжитесь с приемной комиссией по телефону (330) 672-2444.Лучше всего внести изменения до записи на прием в Destination Kent State, чтобы вы могли встретиться с консультантом по вашей специальности. Если вы решите сменить специальность до посещения, но после того, как вы уже забронировали место в штате Кент, обратитесь в приемную комиссию по телефону (330) 672-2444. Изменение вашей специальности может потребовать изменения вашей брони для программы DKS. Если вы решите сменить специальность после посещения DKS, обратитесь к своему научному руководителю.
В: Я сдавал экзамены Advanced Placement или International Baccalaureate в старшей школе. Как мне получить кредит на эти экзамены?
A: Штат Кент присуждает кредит колледжа за экзамены Advanced Placement с баллами три, четыре или пять. Веб-сайт колледжа с отличием (www.kent.edu/honors) предоставляет конкретную информацию об оценках и кредитах. Если вы попросили Совет колледжей отправить ваши баллы в штат Кент, ваши баллы будут оцениваться в начале августа, когда штат Кент получит отчет о результатах.К началу сентября вы увидите кредит, опубликованный в стенограмме Flashline. Штат Кент присуждает кредит колледжа за большинство экзаменов на международный бакалавриат с баллами пять или выше на экзаменах более высокого уровня. Попросите координатора Международного бакалавриата в старшей школе отправить копию отчета об экзамене в Колледж с отличием. Для получения дополнительной информации перейдите на сайт www.kent.edu/honors и перейдите по ссылке с информацией о IB в разделе «Академические программы и исследования». Сообщите консультанту колледжа, с которым вы встретитесь в Destination Kent State, о тестах, которые вы сдали, чтобы он мог дать вам точный совет по курсовой работе.Принесите свою неофициальную расшифровку в DKS.
В: Я посещал курсы в колледже, когда учился в старшей школе (в Кентском государственном университете или в другом колледже/университете). Нужно ли мне посещать ДКС?
О: Да. Любой учащийся, воспользовавшийся возможностью зачисления в высшие учебные заведения, экзаменами Advanced Placement, CLEP или International Baccalaureate во время учебы в старшей школе, независимо от количества часов, переведенных в штат Кент, обязан посещать программу штата Кент назначения. Принесите свои неофициальные стенограммы для послесредних кредитов.
В: Можно ли изменить мою бронь для штата Кент: ориентация для новых студентов?
О: Да. Пожалуйста, снова войдите на веб-портал FlashLine и в контрольный список учащихся, чтобы изменить дату, добавить гостя или добавить запрос на раннее прибытие.
Дважды неотрицательные и полуопределенные релаксации для задачи о плотном k-подграфе
Энтропия (Базель). 2019 февраль; 21(2): 108.
Школа экономики и менеджмента Чжэцзянского научно-технического университета, Ханчжоу 310018, Китай
Поступила в редакцию 19 октября 2018 г.; Принято 19 января 2019 г.
Лицензиат MDPI, Базель, Швейцария. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution (CC BY) (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).Abstract
Задача максимизации самого плотного 90 204 k 90 205 -подграфа (DkS) состоит в том, чтобы найти набор из 90 204 k 90 205 вершин с максимальным общим весом ребер в подграфе, индуцированном этим набором. Эта задача, вообще говоря, NP-трудна. В данной работе представлены два релаксационных метода решения задачи ДкС.Один из них является дважды неотрицательной релаксацией, а другой — полуопределенной релаксацией с более жесткой релаксацией по сравнению с релаксацией стандартной полуопределенной. Две задачи релаксации эквивалентны при подходящих условиях. Кроме того, для этих релаксационных задач приведены соответствующие результаты аппроксимационных соотношений. Наконец, некоторые численные примеры тестируются, чтобы показать сравнение этих задач релаксации, и численные результаты показывают, что дважды неотрицательная релаксация является более перспективной, чем полуопределенная релаксация для решения некоторых задач DkS.
ключевые слова: самые плотные ключевые слова: Групп K -Subgraph, вдвойне неотрицательный релаксация, семиидфинит релаксация, соотношение аппроксимации, NP-HARD
MSC: 9000C10, 90C20, 49M20, 65K05
1. Введение
в этой статье, рассматривается задача о самом плотном k -подграфах (DkS) [1,2]. Для заданного графа G и параметра k задача DkS состоит в нахождении максимальной средней степени в подграфе, порожденном набором из k вершин.Эта проблема была впервые введена Корнейлом и Перлом как естественное обобщение задачи о максимальной клике [3]. Он NP-труден для ограниченных классов графов, таких как хордовые графы [3], двудольные графы [3] и планарные графы [4]. Проблема DkS является классической задачей комбинаторной оптимизации и возникает в нескольких приложениях, таких как определение местоположения объектов [5], обнаружение сообществ в социальных сетях, идентификация семейств белков и молекулярных комплексов в сетях белок-белковых взаимодействий [6] и т. д.Поскольку задача DkS в общем случае является NP-трудной, для ее решения существует несколько приближенных методов [7,8,9]. Хорошо известно, что полуопределенная релаксация является мощным и эффективным в вычислительном отношении методом аппроксимации для решения множества очень сложных задач оптимизации, например, задачи максимального сечения [10] и задачи логического квадратичного программирования [11]. Он также был в центре некоторых очень интересных разработок в области обработки сигналов [12,13].
Задачи оптимизации над дважды неотрицательным конусом возникают, например, как усиление числа Ловаша-ϑ для аппроксимации наибольшей клики в графе [14].Недавняя работа Бюрера [15] стимулировала интерес к задачам оптимизации над полностью положительным конусом. Удобное приближение к такой задаче определяется как задача оптимизации над дважды неотрицательным конусом. Используя технику дважды неотрицательной релаксации, Бай и Го предложили эффективный и многообещающий метод решения множества объективных задач квадратичного программирования в [16]. Для получения более подробной информации и развития этой техники можно обратиться к [17,18,19] и ссылкам в них.Стоит отметить, что конус дважды неотрицательных матриц является подмножеством конуса положительно полуопределенных матриц. Таким образом, дважды неотрицательная релаксация более перспективна, чем базовая полуопределенная релаксация. Кроме того, такие задачи релаксации могут быть эффективно решены некоторыми популярными программными пакетами.
В этой статье, мотивированной идеей дважды неотрицательной релаксации и полуопределенной релаксации, представлены два метода релаксации для решения проблемы DkS. Одна из них — дважды неотрицательная релаксация, а другая — полуопределенная релаксация с более жесткой релаксацией.Кроме того, мы доказываем, что две релаксационные задачи эквивалентны при подходящих условиях. Также приведены некоторые результаты точности аппроксимации этих задач релаксации. Наконец, мы приводим несколько численных примеров, чтобы показать сравнение двух задач релаксации. Численные результаты показывают, что дважды неотрицательная релаксация более перспективна, чем полуопределенная релаксация для решения некоторых задач ДКС.
Статья организована следующим образом: в разделе 2 мы представляем дважды неотрицательную релаксацию и новую полуопределенную релаксацию с более жесткой релаксацией для задачи DkS.1 и раздел 2.2 соответственно. В разделе 3 мы доказываем эквивалентность двух новых релаксаций, предложенных в разделе 2. В разделе 4 приведены некоторые результаты точности аппроксимации для предложенных задач релаксации. Некоторые сравнительные численные результаты представлены в разделе 5, чтобы показать эффективность предложенных новых релаксаций. Кроме того, некоторые заключительные замечания даны в разделе 6.
2. Две релаксации для задачи о самом плотном k-подграфе
Прежде всего, определение задачи о самом плотном k -подграфе (DkS) дается следующим образом.
Определение 1 (Самый плотный k -подграф) .Для заданного графа G(V,E), где V — множество вершин, а E — множество ребер. Проблема DkS на G(V,E) — это проблема нахождения подмножества вершин V размера k с максимальной индуцированной средней степенью.
Для заданной симметричной матрицы размера n×n A=(aij) взвешенный граф с набором вершин {1,2,…,n} связан с A таким образом: ребро [i,j] с весом aij вводится в граф.Тогда A интерпретируется как взвешенная матрица смежности графа с набором вершин V={1,2,…,n}. Основываясь на определении 1, задача DkS состоит в определении подмножества V1⊆V, состоящего из k вершин, такого, что суммарный вес ребер в подграфе, натянутом на V1, максимален. Чтобы выбрать подграфы, назначьте переменную решения yi∈{0,1} для каждого узла (yi=1, если узел взят, и yi=0, если узел не взят). Вес подграфа, заданного y , равен yTAy.Таким образом, проблема DkS может быть сформулирована как квадратичная задача 0−1.
(DkS)max12yTAy,s.t.yTe=k,y∈{0,1}n.
Известно, что (DkS)-задача NP-трудна [20], хотя A считается положительно полуопределенной, поскольку допустимое пространство (DkS)-проблемы невыпукло. Для эффективного решения этой задачи в следующих подразделах мы представляем две новые релаксации для задачи (DkS), основанные на идее приближенных методов.
2.1. Двойная неотрицательная релаксация
Обратите внимание, что квадратичный член yTAy в задаче (DkS) также может быть выражен как A•yyT.Введя новую переменную Y=yyT и взяв методы подъема, мы могли бы переформулировать задачу (DkS) в следующую полностью позитивную задачу программирования:
(CPPDkS)max12A•Y,s.t.yTe=k,eTYe=k2,diag(Y )=y,1yTyY∈C1+n,
, где C1+n определяется следующим образом:
C1+n:=X∈S1+n:X=∑h∈Hzh(zh)T∪{0},
и для некоторых конечных векторов {zh}h∈H⊂R1+n+\{0}.
Следующая теорема показывает связь между проблемой (DkS) и проблемой (CPPDkS). Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.6 в [15] и здесь не приводится.
Теорема 1.(i) Задача (DkS) и задача (CPPDkS) имеют одинаковые оптимальные значения целевых функций, т. е. Opt(DkS)=Opt(CPPDkS); (ii) если (y*,Y*) является оптимальным решением задачи (CPPDkS); тогда y* находится в выпуклой оболочке оптимальных решений задачи (DkS).
С одной стороны, согласно определению 2 очевидно, что задача (CPPDkS) эквивалентна задаче (DkS). С другой стороны, ввиду определения выпуклого конуса, C1+n является замкнутым выпуклым конусом и называется конусом вполне положительных матриц.Таким образом, задача (CPPDkS) выпукла. Однако, поскольку проверка того, принадлежит ли данная матрица C1+n, является NP-трудной, что было показано Дикинсоном и Гидженом в [21], проблема (CPPDkS) по-прежнему является NP-трудной. Таким образом, C1+n нужно заменить или аппроксимировать некоторыми вычислимыми конусами. Например, Rn+ и Sn+ оба являются вычислимыми конусами; более того, Nn+ также является вычислимым конусом.
Стоит отметить, что теорему Диананды о разложении [22] можно переформулировать следующим образом, и в ней можно найти ее доказательство.
Теорема 2.Cn⊆Sn+∩Nn+ выполняется для всех n. Если n≤4, то Cn=Sn+∩Nn+.
Конус матриц Sn+∩Nn+ иногда называют «конусом дважды неотрицательных матриц». Конечно, в размерности n≥5 есть матрицы дважды неотрицательные, но не вполне положительные, контрпример можно увидеть в [23].
С помощью теоремы 2 задачу (CPPDkS) можно свести к задаче
(DNNPDkS)max12A•Y,s.t.yTe=k,eTYe=k2,diag(Y)=y,1yTyY∈S1+n+∩N1+n+,
которое называется дважды неотрицательной релаксацией для задачи (DkS) .Ниже приведены некоторые пояснения этой релаксационной задачи.
Примечание 1.Очевидно, что задача (DNNPDkS) имеет линейную целевую функцию и линейные ограничения, а также выпуклое коническое ограничение, поэтому это задача линейного конического программирования. Между тем, следует отметить, что S1+n+∩N1+n+⊆S1+n+ и типы переменных в обоих наборах одинаковы, что также означает, что задача (DNNPDkS) может быть решена некоторыми популярными программными пакетами для решения полуопределенных задач. программы.
2.2. Новая полуопределенная релаксация
Хорошо известно, что полуопределенная релаксация является мощным методом аппроксимации для решения множества задач комбинаторной оптимизации. В этом подразделе мы представляем новую полуопределенную релаксацию с более точной оценкой для задачи (DkS).
Идея стандартного подъема состоит в том, чтобы ввести симметричную матрицу первого ранга Y=yyT. С помощью Y мы могли бы выразить целочисленные ограничения yi∈{0,1} как Yii=yi, а квадратичную целевую функцию yTAy как A•Y.Таким образом, мы можем получить следующую эквивалентную формулировку задачи (DkS)
max12A•Y,s.t.yTe=k,eTYe=k2,Y=yyT,diag(Y)=y,rank(Y)=1.
Обратите внимание, что жестким ограничением в приведенной выше задаче является ограничение rank(Y)=1, с которым, кроме того, трудно справиться. Таким образом, мы можем свести вышеуказанную задачу к следующей стандартной полуопределенной задаче релаксации, отбросив ограничение первого ранга
(I−SDRDkS)max12A•Y,s.t.yTe=k,eTYe=k2,diag(Y)=y,1yTyY∈S1+n+.
Для задачи (I-SDRDkS) ниже приведены некоторые замечания.
Примечание 2.(i) Очевидно, что задача (I−SDRDkS) также является задачей линейного конического программирования, она имеет ту же целевую функцию и ограничения равенства, что и задача (DNNPDkS).max18zTAz+14zTAe+18eTAe,s.) проблема. В следующих разделах мы дополнительно исследуем связь между этими тремя проблемами и проблемой (DNNPDkS).
3. Эквивалентность задач релаксации
В предыдущем разделе устанавливается дважды неотрицательная релаксация (т. е. задача (DNNPDkS)) и полуопределенная релаксация с более жесткой границей (т. е. задача (II−SDRDkS)) для ( ДКС) проблема. Обратите внимание, что задача (DNNPDkS) имеет на 90 204 n 90 205 ограничений неравенства больше, чем задача (II-SDRDkS).В этом разделе мы докажем эквивалентность двух релаксаций. Прежде всего, определение эквивалентности двух оптимизационных задач дается следующим образом.
Определение 2.Две задачи P1 и P2 называются эквивалентными, если они удовлетворяют следующим двум условиям:
(i) Опция(P1)=Опт(P2).
(ii) Если из раствора P1, то легко найти решение P2, и наоборот.
Для установления эквивалентности задачи (DNNPDkS) и задачи (II−SDRDkS) ниже приводится ключевая теорема, подробности ее доказательства можно увидеть в [24] (Приложение A.5.5).
Теорема 3 (дополнение Шура) .Пусть матрица M∈Sn разбита как
Если detD≠0, матрица H=C−BTD−1B называется дополнением Шура матрицы D в M. Тогда выполняются следующие соотношения:
(i) M≻0 тогда и только тогда, когда D≻0 и H≻0.
(ii) Если D≻0, то M⪰0 тогда и только тогда, когда H⪰0.
В итоге, используя определение 2 и теорему 3, получаем следующую основную теорему эквивалентности.
Теорема 4.Предположим, что допустимые множества Fea(DNNPDkS) и Fea(II-SDRDkS) оба непусты. Тогда проблема (DNNPDkS) и проблема (II-SDRDkS) эквивалентны.
Доказательство.Прежде всего докажем, что Opt(DNNPDkS)≥Opt((II−SDRDkS)).
Предположим, что (z*,Z*) является оптимальным решением задачи (II−SDRDkS), и пусть
Y=14(eeT+e(z*)T+z*eT+Z*),y=12(e+z*).
(2)
Непосредственно из eTz*=2k−n и уравнения (2) имеем
yTe=12(e+z*)Te=12(n+eTz*)=k.
(3)
Согласно уравнению (2) и eTZ*e=(2k−n)2 выполняется равенство
eTYe=14eT(eeT+e(z*)T+(z*)eT+Z*)e=14(n2+2n(z*)Te+(2k−n)2)=k2.
(4)
Поскольку diag(Z*)=e, уравнение (2) дополнительно подразумевает, что
diag(Y)=14(e+2z*+diag(Z*)=12(e+z*)=y.
(5)
Из 1+zi*+zj*+Zij*≥0 для всех 1≤i≤j≤n верно, что
Yij≥0,∀1≤i≤j≤n.
(6)
В сочетании с уравнением (5) верно, что из формулы (6)
Из теоремы 3 (ii) и уравнения (2) следует, что
Y−yyT=14(eeT+e(z*)T+z*eT+Z*)−14(e+z*)(e+z*)T=14(Z*−z*(z*) )T)⪰0,
i.е.,
Из уравнений (3), (4) и (6)–(8) мы имеем (y,Y), определяемое уравнением (2), является допустимым решением задачи (DNNPDkS). Более того, снова из уравнения (2) получаем
12A•Y=18A•(eeT+e(z*)T+z*eT+Z*)=18A•Z*+14(z*)TAe+18eTAe=Opt((II−SDRDkS)),
, т. е. Opt(DNNPDkS)≥Opt((II-SDRDkS)).
Наоборот, при наличии оптимального решения (y*,Y*) задачи (DNNPDkS) и пусть
Zij=1−2yi*−2yj*+4Yij*,zi=2yi*−1,∀1≤i≤j≤n.
(9)
Поскольку diag(Y*)=y*, уравнение (9) также подразумевает, что
diag(Z)=e−4y*+4diag(Y*)=e.
(10)
Кроме того,
1+zi+zj+Zij=1+(2yi*−1)+(2yj*−1)+1−2yi*−2yj*+4Yij*=4Yij*≥0,∀1≤i≤j≤n .
(11)
Из уравнения (9) и eTy*=k следует, что
zTe=(2y*−e)Te=2(y*)Te−n=2k−n.
(12)
Снова из уравнения (9) и eTY*e=k2 верно, что
eTZe=eT(eeT−2e(y*)T−2y*eT+4Y*)e=n2−4kn+4k2=(2k−n)2.
(13)
Из уравнения (9) и теоремы 3 (ii) следует, что
Z−zzT=eeT−2e(y*)T−2y*eT+4Y*−(2y*−e)(2y*−e)T=4(Y*−y*(y*)T)⪰ 0.
(14)
Используя уравнения (11)–(14), мы можем заключить, что (z,Z), определяемое уравнением (9), является допустимым решением задачи (II-SDRDkS). Кроме того, у нас есть
18A•Z+14zTAe+18eTAe=18A•(eeT−2e(y*)T−2y*eT+4Y*)+14(2y*−e)TAe+18eTAe=12A•Y*=Opt(DNNPDkS) ,
т. е. Opt(DNNPDkS)≤Opt(II-SDRDkS).
Суммируя приведенный выше анализ, мы получаем Opt(DNNPDkS)=Opt(II−SDRDkS).)
для N⪰0.)
держи.
В следующем анализе мы предполагаем, что k≠n2. Сначала заметим, что
, поскольку задача (DkS¯) является однородной задачей для задачи (DkS). Кроме того, заметим, что ограничение tz∈{−1,1}1+n в задаче (DkS¯) может быть смягчено до квадратичного вида tzTtz=n+1. Таким образом, задача (DkS¯) может быть упрощена до
(DkS)˜maxtzT18eTAe18eTA18Ae18Atz,s.t.tzT012eT12e0tz=2k−n,tzTtz=n+1,
, что может быть далее упрощено до стандартной задачи полуопределенного программирования
(SDRDkS˜)max18eTAe18eTA18Ae18A•S,s.t.012eT12e0•S=2k−n,I•S=n+1,S∈S1+n+.
Очевидно, из diag(S)=e следует, что ∑iSii=n+1, т. е. I•S=n+1, но из I•S=n+1 мы не могли получить diag(S)=e. Эти результаты также означают, что
Опц(SDRDkS¯)≤Опт(SDRDkS˜).
Аналогично теореме 4.2 в [27] имеем, что имеет место следующая теорема о точности аппроксимации.
Теорема 6.Opt(DkS)≤Opt(DkS)˜≤Opt(SDRDkS˜)≤2log(67)Opt(DkS)˜.
До сих пор мы не только установили эквивалентность между задачей (DNNPDkS) и задачей (II−SDRDkS), но также дали некоторые результаты точности аппроксимации для задачи (DNNPDkS) и некоторые стандартные задачи полуопределенной релаксации.В следующем разделе 5 мы проведем некоторые численные эксперименты, чтобы дать представление о фактическом поведении задачи (DNNPDkS) и некоторых полуопределенных задачах релаксации.
5. Численные эксперименты
В этом разделе тестируются некоторые случайные (DkS) примеры, чтобы показать эффективность предлагаемых задач релаксации. Все эти проблемы релаксации решаются с помощью CVX [28], который реализован с использованием MATLAB R2010a на платформе Windows XP и на ПК с 2.Процессор 53 ГГц. Соответствующие сравнительные численные результаты представлены в следующих частях.
Чтобы дать представление о поведении вышеупомянутых задач релаксации, мы рассмотрим результаты для следующих тестовых примеров. Данные тестовых примеров приведены в .
Таблица 1
Данные тестовых примеров.
| P25 | n = 25; | к = 5; | семя = 1, 2, …, 50 ; рэнд('seed',seed) ; |
| A = раунд(10 × ранд( n )) ; A = трил(A,−1) + триu(A’,0) ; | |||
| P30 | n= 30; | к= 10; | семян = 2012 ; randn('seed',seed) ; A = randn(n,n) ; |
| A = трил(A,−1) + триu(A’,0) ; | |||
| P40 | n= 40; | к= 15; | семян = 2017 ; рэнд('seed',seed) ; A = ранд(n,n) ; |
| A = трил(A,−1) + триu(A’,0) ; | |||
| P50 | n= 50; | к= 10; | семя = 2001, 2002, …, 2050 ; рэнд('seed',seed) ; |
| G = (rand( n )<0.5) ; A = круглый (20 × ранд ( n ) − 10) ; А = триу(А,1) ; | |||
| А = А.*Г ; А100 = А + А' ; | |||
| P60 | n= 60; | к= 20; | семян = 2020 ; рэнд('seed',seed) ; A = раунд(ранд(n,n)) ; |
| А = трил(А,-1) + триу(А’,0) ; | |||
| P80 | n= 80; | к= 30; | семян = 2023 ; рэнд('seed',seed) ; A = раунд(ранд(n,n)) ; |
| А = трил(А,-1) + триу(А’,0) ; |
Первый столбец обозначает название тестовых примеров, n и k — количество вершин данного графа и найденного подграфа соответственно.В последнем столбце обозначены процедуры генерации матриц коэффициентов A в задаче (DkS). Ниже приведены более подробные пояснения к процедурам:
• P25. 50 случайных примеров генерируются из «начального числа = 1,2,…,50 ». Соответствующие матрицы коэффициентов A порядка n=25 с целыми весами взяты из {0,1,…,10}.
• P30. Этот пример сгенерирован функцией MATLAB randn из ‘ seed = 2012 ’.Элементы A удовлетворяют стандартному нормальному распределению.
• P40. Этот пример сгенерирован функцией MATLAB rand из ‘ seed = 2017 ’. Элементы A удовлетворяют стандартному равномерному распределению на интервале (0,1).
• P50. Мы генерируем 50 примеров порядка n = 50 из «начального числа = 2001, 2002,…, 2050 ». Для каждой матрицы коэффициентов этих примеров половина элементов случайным образом устанавливается равной нулю, а остальные выбираются из {−10,−9,…,9,10}.
• P60. Этот пример сгенерирован функцией MATLAB rand из ‘ seed = 2020 ’. Элементы A взяты из {0,1}.
• P80. Этот пример сгенерирован функцией MATLAB rand из ‘ seed = 2023 ’. Матрица коэффициентов A порядка n=80 с целыми весами, взятыми из {0,1,…,10}.
Прежде всего, сравниваются характеристики задачи (DNNPDkS) и задачи (II-SDRDkS), а также задачи (I-SDRDkS) для решения P25 и P50.Мы используем профили производительности, описанные в статье Долана и Море [29]. Наши профили основаны на оптимальных значениях (т.е. средней степени) и количестве итераций этих задач релаксации. Кумулятивная вероятность обозначает кумулятивную функцию распределения коэффициента производительности в пределах фактора τ∈R, т. е. вероятность того, что решатель выиграет у остальных решателей. Соответствующие сравнительные результаты производительности показаны в и .
Производительность задачи (DNNPDkS) и задачи (II−SDRDkS), а также задачи (I−SDRDkS) для решения P25.Профиль производительности фигуры ( слева ) основан на оптимальных значениях, а фигура ( справа ) основан на количестве итераций.
Производительность задачи (DNNPDkS) и задачи (II-SDRDkS), а также задачи (I-SDRDkS) для решения P50. Профиль производительности на рисунке ( слева ) соответствует оптимальным значениям, а рисунок ( справа ) основан на количестве итераций.
Сравнительные результаты для P25 показаны на .Очевидно, что задача (DNNPDkS) и задача (II−SDRDkS) имеют одинаковую производительность, которая с точки зрения оптимальных значений несколько лучше, чем у задачи (I−SDRDkS). С учетом количества итераций производительность задачи (I-SDRDkS) является лучшей, а производительность задачи (II-SDRDkS) лучше, чем у задачи (DNNPDkS).
Производительность трех релаксационных задач для решения P50 показана на . Результаты показывают, что производительность задачи (DNNPDkS) такая же, как и у задачи (II-SDRDkS); они обе намного лучше, чем задача (I-SDRDkS) с точки зрения оптимальных значений, хотя производительность задачи (I-SDRDkS) лучше, чем задача (DNNPDkS) и (II-SDRDkS) проблема с точки зрения количества итераций.
Все результаты показывают и далее подразумевают, что задача (DNNPDkS) и задача (II−SDRDkS) могут давать более многообещающие оценки для решения P25 и P50 по сравнению с задачей (I−SDRDkS), в то время как число итераций немного больше. Более того, задача (DNNPDkS) и задача (II-SDRDkS) имеют одинаковую производительность на основе оптимальных значений, хотя производительность задачи (II-SDRDkS) лучше, чем задача (DNNPDkS) с точки зрения количество итераций для решения P25 и P50.
Чтобы дополнительно показать вычислительную эффективность задачи (DNNPDkS), которая сравнивается с задачей (II−SDRDkS) и некоторыми другими типами задач полуопределенной релаксации, предложенных в [30], для решения некоторых (DkS) задач. Тестовые примеры A50 и A100 выбраны из [30]. (R-20), (R-24) и (R-MET) обозначают три задачи полуопределенной релаксации, предложенные в [30] соответственно. Соответствующие численные результаты показаны в , где «-» означает, что соответствующая информация о количестве итераций не приводится в [30].Результаты показывают, что вычислительная эффективность задачи (DNNPDkS) лучше, чем у задачи (II−SDRDkS) с точки зрения оптимальных значений и числа итераций соответственно. Обратите внимание, что производительность задачи (DNNPDkS) и задачи (II-SDRDkS) намного выше, чем у (R-20) и (R-24). Более того, производительность задачи (DNNPDkS) более конкурентоспособна с (R-MET) для решения этих двух задач.
Таблица 2
Численные результаты для некоторых примеров DkS в [30].